Две случайные величины X и Y распределены по геометрическому закону. Математическое ожидание случайной величины X равно 3, случайной величины Y — 9, а коэффициент корреляции равен…

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами геометрического распределения и формулами для дисперсии и корреляции.

Шаг 1: Основные свойства геометрического распределения

Для случайной величины \(X\), распределенной по геометрическому закону, математическое ожидание (среднее) и дисперсия определяются следующими формулами:

• Математическое ожидание: \(E(X) = \frac{1}{p_X}\), где \(p_X\) — вероятность успешного исхода.
• Дисперсия: \(D(X) = \frac{1 - p_X}{p_X^2}\).

Шаг 2: Находим вероятность успеха для \(X\) и \(Y\)

Из условия задачи известно:

• \(E(X) = 3\)
• \(E(Y) = 9\)

Для \(X\): \[ E(X) = \frac{1}{p_X} \implies p_X = \frac{1}{E(X)} = \frac{1}{3} \]

Для \(Y\): \[ E(Y) = \frac{1}{p_Y} \implies p_Y = \frac{1}{E(Y)} = \frac{1}{9} \]

Шаг 3: Находим дисперсии \(D(X)\) и \(D(Y)\)

Теперь можно найти дисперсии обеих случайных величин:

• Для \(X\): \[ D(X) = \frac{1 - p_X}{p_X^2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 \]

• Для \(Y\): \[ D(Y) = \frac{1 - p_Y}{p_Y^2} = \frac{1 - \frac{1}{9}}{\left(\frac{1}{9}\right)^2} = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{81}} = \frac{8}{9} \cdot 81 = 72 \]

Шаг 4: Используем формулу для дисперсии разности

Теперь, чтобы найти дисперсию разности \(X - Y\), воспользуемся следующей формулой: \[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]

Где ковариация \(\text{Cov}(X, Y)\) выражается как: \[ \text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \] где \(\rho_{XY}\) — коэффициент корреляции, а \(\sigma_X\) и \(\sigma_Y\) — стандартные отклонения случайных величин.

Шаг 5: Находим стандартные отклонения

Стандартное отклонение — это корень квадратный из дисперсии:

• \(\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{6}\)
• \(\sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)

Шаг 6: Находим ковариацию

Теперь подставим значения: \[ \text{Cov}(X, Y) = 0.3 \cdot \sqrt{6} \cdot 6\sqrt{2} = 0.3 \cdot 6\sqrt{12} = 1.8\sqrt{12} \]

Шаг 7: Подставим все данные в формулу для \(D(X - Y)\):

Подставим дисперсии и ковариацию в выражение: \[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \] \[ D(X - Y) = 6 + 72 - 2 \cdot 1.8\sqrt{12} \] Теперь вычислим \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), следовательно: \[ 2 \cdot 1.8 \cdot 2\sqrt{3} = 7.2\sqrt{3} \]

Итоговое выражение:

\[ D(X - Y) = 78 - 7.2\sqrt{3} \]

Ответ:

Таким образом, значение дисперсии \(D(X - Y)\) будет равно \(78 - 7.2\sqrt{3}\). Для численного ответа, если нужно, можно подставить значение \(\sqrt{3} \approx 1.732\).

Это приводит нас к числовому значению около \(78 - 12.4576 \approx 65.5424\).