диспетчер скорой помощи за 1 час приняла 240 звонков. Определи вероятность того, что в течении следующего часа звонков превысит 312?

Для решения этой задачи мы можем использовать подход, основанный на распределении Пуассона, поскольку количество звонков, принятых диспетчером скорой помощи, можно считать случайным событием, происходящим в фиксированном интервале времени.

Шаг 1: Определение параметров модели

1. Среднее значение (λ): Мы знаем, что диспетчер за один час принимает в среднем 240 звонков. То есть, λ = 240.

Шаг 2: Установление распределения

Поскольку мы хотим определить вероятность того, что количество звонков в следующий час превысит 312, мы можем сформулировать задачу следующим образом:

\[ P(X > 312) \]

Шаг 3: Вычисление вероятности

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться свойством распределения Пуассона. Следует помнить, что:

• Вероятность того, что произойдет ровно k событий (в нашем случае – звонков) за фиксированный интервал времени, определяется формулой:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} \]

где \( e \) – основание натурального логарифма (примерно 2.71828), \( \lambda \) – среднее количество событий, а \( k \) – количество событий, которые мы хотим исследовать.

Однако нам нужна вероятность того, что \( X > 312 \), и мы можем это рассчитать следующим образом:

\[ P(X > 312) = 1 - P(X \leq 312) \]

Шаг 4: Нахождение \( P(X \leq 312) \)

Для нахождения \( P(X \leq 312) \) мы можем просуммировать вероятности от 0 до 312 (или воспользоваться таблицами распределения Пуассона, если они доступны) или использовать приближение нормального распределения, так как λ достаточно велико.

Шаг 5: Приближение нормальным распределением

Согласно центральной предельной теореме, если \( n \) велико, распределение Пуассона можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами:

\[ \mu = \lambda = 240 \\ \sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{240} \approx 15.49 \]

Теперь мы можем перевести наше значение в стандартные условные величины:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{312 - 240}{15.49} \approx 4.65 \]

Шаг 6: Нахождение вероятности

Теперь, используя стандартные таблицы нормального распределения, мы можем найти вероятность, что \( Z < 4.65 \). Эта вероятность будет близка к 1, поскольку 4.65 — это большое значение для стандартного нормального распределения.

Таким образом:

\[ P(Z < 4.65) \approx 1 \] Следовательно,

\[ P(Z > 4.65) \approx 0 \]

Итог

Вероятность того, что за следующий час звонков будет больше 312, практически равна 0.