2.5.Вычислить напряженность электрического поля, создаваемого шаром радиуса R, равномерно заряженным по объему с плотностью заряда  для точек внутри и вне шара. Построить график…

Для решения задачи о напряженности электрического поля, создаваемого сферически симметричным заряженным телом (в данном случае, шаром), воспользуемся законом Гаусса и основными понятиями электростатики.

Шаг 1: Понимание условий задачи

У нас есть шар радиусом \( R \), равномерно заряженный по объему с плотностью заряда \( \rho \). Нам нужно вычислить напряженность электрического поля \( E \) как внутри, так и снаружи шара, а также построить график зависимости \( E(r) \).

Шаг 2: Напряженность электрического поля внутри шара (\( r < R \))

1. Заключение по симметрии: Мы можем применять закон Гаусса, поскольку шар имеет симметрию. Выберем гауссову поверхность в виде сферы радиусом \( r \) (где \( r < R \)).

2. Нахождение заряда внутри гауссовой поверхности:

   • Объем шара с радиусом \( r \) равен \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \).
   • Таким образом, заряд внутри этого объема: \[ Q_{\text{внутри}} = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \]

3. Применение закона Гаусса:

   • По закону Гаусса, поток электрического поля через поверхность равен заряду внутри, делённому на ε0: \[ \Phi = E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q_{\text{внутри}}}{\epsilon_0} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0} \]

4. Находим \( E \):

   • Подставляем: \[ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\epsilon_0} \]
   • Сокращаем \( 4 \pi \): \[ E \cdot r^2 = \frac{\rho \cdot r^3}{3 \epsilon_0} \]
   • Отсюда: \[ E = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0} \]

Шаг 3: Напряженность электрического поля вне шара (\( r \geq R \))

1. Выбираем гауссову поверхность: Сфера радиусом \( r \) (где \( r > R \)).

2. Весь заряд шара:

   • Полный заряд \( Q \) шара: \[ Q = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \]

3. Применение закона Гаусса:

   • Поток электрического поля через поверхность: \[ E \cdot 4 \pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{\epsilon_0} \]

4. Находим \( E \):

   • Сокращаем \( 4 \pi \): \[ E \cdot r^2 = \frac{\rho \cdot R^3}{3 \epsilon_0} \]
   • Отсюда: \[ E = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \]

Шаг 4: Результаты

• Для \( r < R \): \[ E(r) = \frac{\rho r}{3 \epsilon_0} \]
• Для \( r \geq R \): \[ E(r) = \frac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \]

Шаг 5: Построение графика зависимости \( E(r) \)

1. На оси X откладываем радиус \( r \) (от 0 до 2R).
2. На оси Y откладываем напряженность \( E \).
3. График будет иметь линейный рост внутри шара (\( E \propto r \) для \( r < R \)) и обратную зависимость для внешней области (\( E \propto \frac{1}{r^2} \) для \( r \geq R \)).
4. В точке \( r = R \), значения \( E \) будут равны на обоих участках (можно вычислить это значение для подтверждения).

Резюме

Таким образом, мы получили формулы для напряженности электрического поля как внутри, так и снаружи равномерно заряженного шара, а также представили, как можно визуально изобразить изменения этих значений на графике.