f(x) = (7x - 2)⁵ F(x) = ?

Чтобы найти функцию \( F(x) \), которая является первообразной (или неопределённым интегралом) функции \( f(x) = (7x - 2)^5 \), мы будем использовать метод подстановки.

Шаг 1: Подстановка

1. Обозначим \( u = 7x - 2 \). Тогда производная \( u \) будет: \[ \frac{du}{dx} = 7 \implies du = 7dx \implies dx = \frac{du}{7} \]

Шаг 2: Замена переменной в интеграле

Теперь подставим \( u \) и \( dx \) в интеграл: \[ F(x) = \int (7x - 2)^5 \, dx = \int u^5 \left(\frac{du}{7}\right) \] Эта замена даёт нам: \[ F(x) = \frac{1}{7} \int u^5 \, du \]

Шаг 3: Интегрирование

Теперь мы можем интегрировать \( \int u^5 \, du \): \[ \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C \] где \( C \) - это произвольная постоянная интегрирования.

Теперь подставим обратно \( u = 7x - 2 \): \[ F(x) = \frac{1}{7} \left(\frac{(7x - 2)^6}{6} + C\right) = \frac{(7x - 2)^6}{42} + C' \] где \( C' = \frac{C}{7} \) также является произвольной постоянной.

Ответ

Таким образом, первообразная функции \( f(x) \) равна: \[ F(x) = \frac{(7x - 2)^6}{42} + C \] где \( C \) - произвольная постоянная.