Решим задачу, используя известные свойства прямоугольных треугольников и формулы для нахождения радиуса вписанной окружности.
Шаг 1: Найдем длину второго катета
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы ( c ) и двух катетов ( a ) и ( b ) связаны теоремой Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
В данном случае гипотенуза ( AB = 13 ) и один из катетов ( BC = 5 ). Обозначим другой катет ( AC = b ). Подставим известные значения в формулу:
[
13^2 = 5^2 + b^2
]
Выполним вычисления:
[
169 = 25 + b^2
]
Теперь перенесем 25 на левую сторону:
[
b^2 = 169 - 25 = 144
]
Находим ( b ):
[
b = \sqrt{144} = 12
]
Таким образом, оба катета треугольника равны: ( BC = 5 ) и ( AC = 12 ).
Шаг 2: Найдем площадь треугольника
Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Где ( a ) и ( b ) — это длины катетов. Нам известны обе длины:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30
]
Шаг 3: Найдем полупериметр треугольника
Полупериметр ( p ) можно найти по формуле:
[
p = \frac{a + b + c}{2}
]
Где ( c ) — длина гипотенузы. В нашем случае:
[
p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15
]
Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности
Радиус ( r ) вписанной окружности можно найти по формуле:
[
r = \frac{S}{p}
]
Теперь подставим найденные значения площади и полупериметра:
[
r = \frac{30}{15} = 2
]
Шаг 5: Найдем длину окружности и поделим её на π
Длина окружности ( L ), описанной вокруг вписанной окружности, вычисляется по формуле:
[
L = 2 \pi r
]
Поделим на ( \pi ):
[
\frac{L}{\pi} = 2r
]
Подставим значение радиуса:
[
\frac{L}{\pi} = 2 \cdot 2 = 4
]
Ответ
Длина окружности, делённая на π, равна ( 4 ).
