В прямоугольный треугольник АВС, в котором гипотенуза АВ равна 13, а катет ВС равен 5, вписана окружность. Найдите длину окружности, делённую на пи
Решим задачу, используя известные свойства прямоугольных треугольников и формулы для нахождения радиуса вписанной окружности.
Шаг 1: Найдем длину второго катета
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы \( c \) и двух катетов \( a \) и \( b \) связаны теоремой Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
В данном случае гипотенуза \( AB = 13 \) и один из катетов \( BC = 5 \). Обозначим другой катет \( AC = b \). Подставим известные значения в формулу:
\[ 13^2 = 5^2 + b^2 \]
Выполним вычисления:
\[ 169 = 25 + b^2 \]
Теперь перенесем 25 на левую сторону:
\[ b^2 = 169 - 25 = 144 \]
Находим \( b \):
\[ b = \sqrt{144} = 12 \]
Таким образом, оба катета треугольника равны: \( BC = 5 \) и \( AC = 12 \).
Шаг 2: Найдем площадь треугольника
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Где \( a \) и \( b \) — это длины катетов. Нам известны обе длины:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30 \]
Шаг 3: Найдем полупериметр треугольника
Полупериметр \( p \) можно найти по формуле:
\[ p = \frac{a + b + c}{2} \]
Где \( c \) — длина гипотенузы. В нашем случае:
\[ p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]
Шаг 4: Найдем радиус вписанной окружности
Радиус \( r \) вписанной окружности можно найти по формуле:
\[ r = \frac{S}{p} \]
Теперь подставим найденные значения площади и полупериметра:
\[ r = \frac{30}{15} = 2 \]
Шаг 5: Найдем длину окружности и поделим её на π
Длина окружности \( L \), описанной вокруг вписанной окружности, вычисляется по формуле:
\[ L = 2 \pi r \]
Поделим на \( \pi \):
\[ \frac{L}{\pi} = 2r \]
Подставим значение радиуса:
\[ \frac{L}{\pi} = 2 \cdot 2 = 4 \]
Ответ
Длина окружности, делённая на π, равна \( 4 \).
