Проведено 700 испытаний бернулли. 0,7 составила вероятность успешного испытания(для каждого случая). Очени вероятность того что в проведённых испытаниях разница между числом…

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать нормальное приближение распределения биномиальных испытаний. Давайте разберем решение шаг за шагом.

1. Определим параметры задач из условия:

   • Количество испытаний \( n = 700 \).
   • Вероятность успеха \( p = 0.7 \).

2. Рассчитаем среднее число успехов: Среднее количество успехов в \( n \) испытаниях (ожидаемое значение) рассчитывается по формуле: \[ E(X) = n \cdot p = 700 \cdot 0.7 = 490 \]

3. Рассчитаем дисперсию и стандартное отклонение: Дисперсия биномиального распределения рассчитывается по формуле: \[ Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 700 \cdot 0.7 \cdot (1 - 0.7) = 700 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 147 \] Стандартное отклонение \( \sigma \) равно квадратному корню из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{147} \approx 12.12 \]

4. Используем нормальное приближение: Поскольку \( n \) велико, мы можем использовать нормальное распределение для приближения: \( X \sim N(490, 12.12^2) \), где \( \mu = 490 \) и \( \sigma^2 \approx 147 \).

5. Условие задачи: Нам нужно найти вероятность того, что разница между числом успехов и средним количеством успехов составляет менее 60: \[ P(|X - E(X)| < 60) \] Это эквивалентно: \[ P(490 - 60 < X < 490 + 60) = P(430 < X < 550) \]

6. Приведем к стандартному нормальному распределению: Чтобы найти данную вероятность, мы воспользуемся преобразованием к стандартному нормальному распределению \( Z \): \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] Для нижней границы: \[ Z_1 = \frac{430 - 490}{12.12} \approx -4.95 \] Для верхней границы: \[ Z_2 = \frac{550 - 490}{12.12} \approx 4.95 \]

7. Найдем вероятность: Теперь нам нужно найти: \[ P(-4.95 < Z < 4.95) \] По таблице стандартного нормального распределения мы можем увидеть, что почти вся вероятность находится между этими границами. В действительности, для значений Z, находящихся более чем на 3 стандартных отклонения от среднего, вероятность будет очень близка к 1 (практически 100%).

Таким образом, мы можем заключить, что вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 60, близка к 1.