Для решения задачи о вычислении площадей закрашенного и незакрашенного сегментов круга, следуем пошагово.
Дано:
- Радиус окружности ( R = 4 ) дм
- Центральный угол ( \theta = 90^\circ )
- ( \pi = 3 )
Шаг 1: Вычисление площади сектора круга
Площадь сектора с центральным углом ( \theta ) вычисляется по формуле:
[
S_{сектора} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2
]
Подставим известные значения:
[
S_{сектора} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot 3 \cdot (4)^2
]
Шаг 2: Вычисление радиуса в квадрате
( R^2 = 4^2 = 16 )
Шаг 3: Подстановка значений в формулу
Теперь подставим ( R^2 ) в формулу:
[
S_{сектора} = \frac{90}{360} \cdot 3 \cdot 16
]
Шаг 4: Упрощение дроби
Сначала упростим дробь:
[
\frac{90}{360} = \frac{1}{4}
]
Таким образом,
[
S_{сектора} = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 16
]
Шаг 5: Умножение
Теперь умножим:
[
S_{сектора} = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12 \text{ дм}^2
]
Шаг 6: Вычисление площади треугольника
Треугольник разделяет сектор на закрашенную и незакрашенную области. Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и стороной сектора, можно найти по формуле:
[
S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)
]
где ( a = b = R = 4 ) дм, ( \theta = 90^\circ ) и ( \sin(90^\circ) = 1 ):
[
S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ дм}^2
]
Шаг 7: Вычисление площади закрашенного сегмента
Площадь закрашенного сегмента (сектора) равна:
[
S_{закрашенного} = S_{сектора} - S_{треугольника}
]
Подставив значения:
[
S_{закрашенного} = 12 - 8 = 4 \text{ дм}^2
]
Шаг 8: Вычисление площади незакрашенного сегмента
Площадь незакрашенного сегмента в таком случае будет равна площади треугольника:
[
S_{незакрашенного} = S_{треугольника} = 8 \text{ дм}^2
]
Ответ:
- Площадь закрашенного сегмента: ( 4 ) дм²
- Площадь незакрашенного сегмента: ( 8 ) дм²
Таким образом, мы получили, что:
- Зеленого сегмента: ( 4 ) дм²
- Белого сегмента: ( 8 ) дм²
