Бросаем игральную кость. Какова вероятность того, что бросив кость 8 раз, мы выбросим шестерку не менее 4, но не более 6 раз? Решение и ответ

Для решения задачи о вероятности выброса шестерки при броске игральной кости, воспользуемся биномиальным распределением, так как каждый бросок является независимым событием с двумя возможными исходами: успех (выброс шестерки) или неуспех (не выброс шестерки).

Шаг 1: Определим параметры задачи

• Количество бросков (n): 8 (бросаем кость 8 раз)
• Вероятность успеха (p): Вероятность выброса шестерки при одном броске кости равна \( p = \frac{1}{6} \).
• Вероятность неуспеха (q): \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).

Шаг 2: Формулируем задачу

Мы хотим найти вероятность того, что шестерка будет выброшена от 4 до 6 раз (включительно). Это означает, что нам нужно найти сумму вероятностей для случаев, когда шестерка выбрасывается 4, 5 и 6 раз.

Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения

Вероятность получать \( k \) успехов (в нашем случае — шестерок) в \( n \) испытаниях можно рассчитать по формуле:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где \( \binom{n}{k} \) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Шаг 4: Вычислим вероятности

1. Для \( k = 4 \):

\[ P(X = 4) = \binom{8}{4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^4 \]

Используя биномиальный коэффициент:

\[ \binom{8}{4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = 70 \]

Теперь подставляем значения:

\[ P(X = 4) = 70 \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 70 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \left(\frac{625}{1296}\right) = 70 \cdot \frac{625}{7776} \]

\[ P(X = 4) = \frac{43750}{7776} \approx 0.5629 \]

2. Для \( k = 5 \):

\[ P(X = 5) = \binom{8}{5} \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\frac{5}{6}\right)^3 \]

Биномиальный коэффициент:

\[ \binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = 56 \]

Теперь подставляем:

\[ P(X = 5) = 56 \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 56 \cdot \frac{1}{7776} \cdot \left(\frac{125}{216}\right) \]

\[ P(X = 5) = 56 \cdot \frac{125}{16632} = \frac{7000}{16632} \approx 0.420 \]

3. Для \( k = 6 \):

\[ P(X = 6) = \binom{8}{6} \left(\frac{1}{6}\right)^6 \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]

Биномиальный коэффициент:

\[ \binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28 \]

Подстановка:

\[ P(X = 6) = 28 \left(\frac{1}{6}\right)^6 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 28 \cdot \frac{1}{46656} \cdot \left(\frac{25}{36}\right) \]

\[ P(X = 6) = 28 \cdot \frac{25}{1679616} = \frac{700}{1679616} \approx 0.000416 \]

Шаг 5: Суммируем вероятности

Теперь, чтобы найти общую вероятность, что шестерка будет выброшена от 4 до 6 раз:

\[ P(4 \leq X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \]

Подставляем ранее найденные вероятности:

\[ P(4 \leq X \leq 6) \approx 0.5629 + 0.420 + 0.000416 \approx 0.983316 \]

Ответ

Вероятность того, что шестерка будет выброшена не менее 4, но не более 6 раз при 8 бросках игральной кости, составляет примерно 0.9833 или 98.33%.