В правильной четырёх угольной перомиде sabcd с основанием abcd боковое ребро sa равно 5 сторона основания равна 3 корень2 найдите обём

Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, нужно использовать формулу: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h \] где \( V \) — объем пирамиды, \( S_b \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды. ### Шаг 1: Находим площадь основания Основание нашей пирамиды — это квадрат \( ABCD \) со стороной, равной \( 3\sqrt{2} \). Площадь квадрата вычисляется по формуле: \[ S_b = a^2 \] Где \( a \) — длина стороны. В нашем случае: \[ S_b = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \] ### Шаг 2: Находим высоту пирамиды Поскольку это правильная пирамида, высота \( h \) будет перпендикулярна к основанию и будет направлена к центру квадрата \( ABCD \). 1. **Находим расстояние от центра основания до любой из вершин.** Центр квадрата \( O \) будет находиться в точке \( \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \). 2. **Найдём длину от центра \( O \) до вершины \( A \):** \[ OA = \sqrt{\left(0 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{9 \cdot 2}{4}} = \sqrt{9} = 3 \] 3. **Теперь используем теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \):** У нас есть треугольник \( OSA \), где \( SA = 5 \) (боковое ребро) и \( OA = 3 \) (полу диагональ основания). По теореме Пифагора: \[ SA^2 = OA^2 + h^2 \\ 5^2 = 3^2 + h^2 \\ 25 = 9 + h^2 \\ h^2 = 16 \\ h = 4 \] ### Шаг 3: Находим объем пирамиды Теперь имеем все необходимые данные для вычисления объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 4 \] Вычисления: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 72 = 24 \] Итак, объем правильной четырёхугольной пирамиды \( SABCD \) равен \( 24 \) кубических единиц.