Чтобы решить задачу о редукторе из трех шестеренок, давайте разберем, как они взаимодействуют друг с другом.
Дано:
- Количество зубьев первой шестеренки ( Z_1 = 40 )
- Количество зубьев второй шестеренки ( Z_2 = 90 )
- Количество зубьев третьей шестеренки ( Z_3 = 20 )
- Первая шестеренка сделала ( N_1 = 3 ) оборота.
Шаг 1: Определение соотношений оборотов шестеренок
Когда первая шестеренка вращается, она передает движение второй шестеренке, а вторая шестеренка передает движение третьей шестеренке. Каждый раз, когда одна шестеренка делает оборот, другая шестеренка делает меньшее количество оборотов, пропорционально количеству зубьев.
Шаг 2: Расчет оборотов второй шестеренки
Формула для расчетов между шестеренками выглядит следующим образом:
[
\frac{N_1}{N_2} = \frac{Z_2}{Z_1}
]
где:
- ( N_1 ) — обороты первой шестеренки,
- ( N_2 ) — обороты второй шестеренки,
- ( Z_1 ) — количество зубьев первой шестеренки,
- ( Z_2 ) — количество зубьев второй шестеренки.
Подставим известные значения:
[
\frac{3}{N_2} = \frac{90}{40}
]
Шаг 3: Преобразуем уравнение
Упростим дробь:
[
\frac{90}{40} = \frac{9}{4}
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{3}{N_2} = \frac{9}{4}
]
Перекрестное умножение дает:
[
3 \cdot 4 = 9 \cdot N_2
]
[
12 = 9 \cdot N_2
]
Теперь найдем ( N_2 ):
[
N_2 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \text{ оборотов}
]
Шаг 4: Расчет оборотов третьей шестеренки
Теперь, по аналогии, найдём количество оборотов третьей шестеренки ( N_3 ):
[
\frac{N_2}{N_3} = \frac{Z_3}{Z_2}
]
Известно, что ( Z_3 = 20 ), а ( Z_2 = 90 ), и у нас есть ( N_2 = \frac{4}{3} ).
Подставляем значения:
[
\frac{\frac{4}{3}}{N_3} = \frac{20}{90}
]
Это можно упростить:
[
\frac{20}{90} = \frac{2}{9}
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{\frac{4}{3}}{N_3} = \frac{2}{9}
]
Перекрестное умножение:
[
\frac{4}{3} \cdot 9 = 2 \cdot N_3
]
Это приводит к:
[
12 = 2 \cdot N_3
]
Теперь найдем ( N_3 ):
[
N_3 = \frac{12}{2} = 6 \text{ оборотов}
]
Ответ:
Третья шестеренка сделает 6 оборотов.
