Даны две параллельные плоскости а и в и не лежащая между ними точка К. Две прямые, проходящие через точку К, пересекают ближнюю к точке К плоскость а в точках А1 и А2, а дальнюю плоскость в в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2=10см и А₁K:A,B₁=2:3.

Для решения задачи о длине отрезка \(B_1B_2\) между точками пересечения с параллельными плоскостями, мы будем использовать свойства подобия треугольников, так как в данной ситуации образуются подобные треугольники при пересечении плоскостей. ### Дано: - Параллельные плоскости \(a\) и \(b\) - Точка \(K\) не лежит между ними - Прямые \(KA_1\) и \(KA_2\) пересекают плоскость \(a\) в точках \(A_1\) и \(A_2\) - Прямые \(KB_1\) и \(KB_2\) пересекают плоскость \(b\) в точках \(B_1\) и \(B_2\) - Длина отрезка \(A_1A_2 = 10\) см - Отношение отрезков \(A_1K : KB_1 = 2:3\) ### 1. Понимание задачи Поскольку плоскости \(a\) и \(b\) параллельны, и точки \(A_1\), \(A_2\) и \(K\) находятся на прямых, перпендикулярных к этим плоскостям, аналогично, точки \(B_1\) и \(B_2\) также будут находиться на этих же прямых. ### 2. Применение подобия треугольников По условию \(A_1K : KB_1 = 2:3\) означает, что: - Пусть длина отрезка \(A_1K\) = \(2x\) - Тогда длина отрезка \(KB_1\) = \(3x\) Общая длина отрезка \(A_1B_1\) будет равна: \[ A_1B_1 = A_1K + KB_1 = 2x + 3x = 5x \] Далее, аналогично для отрезка \(A_2B_2\): - Длина отрезка \(A_2K\) = \(2x\) (так как точки \(A_1\) и \(A_2\) находятся на одной прямой) - Длина отрезка \(KB_2\) = \(3x\) Таким образом,: \[ A_2B_2 = A_2K + KB_2 = 2x + 3x = 5x \] ### 3. Определение длины отрезка \(B_1B_2\) Теперь, поскольку параллельные планы, отрезки \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\) будут пропорциональны: \[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_1K + KB_1}{A_2K + KB_2} \] Из этого соотношения мы знаем: \[ \frac{10 \text{ см}}{B_1B_2} = \frac{5x}{5x} = 1 \] Таким образом, длина отрезка \(B_1B_2\) равна длине отрезка \(A_1A_2\): \[ B_1B_2 = 10 \text{ см} \] ### Ответ Длина отрезка \(B_1B_2\) равна \(10\) см.