Даны две параллельные плоскости а и в и не лежащая между ними точка К. Две прямые, проходящие через точку К, пересекают ближнюю к точке К плоскость а в точках А1 и А2, а дальнюю…

Для решения задачи о длине отрезка \(B_1B_2\) между точками пересечения с параллельными плоскостями, мы будем использовать свойства подобия треугольников, так как в данной ситуации образуются подобные треугольники при пересечении плоскостей.

Дано:

• Параллельные плоскости \(a\) и \(b\)
• Точка \(K\) не лежит между ними
• Прямые \(KA_1\) и \(KA_2\) пересекают плоскость \(a\) в точках \(A_1\) и \(A_2\)
• Прямые \(KB_1\) и \(KB_2\) пересекают плоскость \(b\) в точках \(B_1\) и \(B_2\)
• Длина отрезка \(A_1A_2 = 10\) см
• Отношение отрезков \(A_1K : KB_1 = 2:3\)

1. Понимание задачи

Поскольку плоскости \(a\) и \(b\) параллельны, и точки \(A_1\), \(A_2\) и \(K\) находятся на прямых, перпендикулярных к этим плоскостям, аналогично, точки \(B_1\) и \(B_2\) также будут находиться на этих же прямых.

2. Применение подобия треугольников

По условию \(A_1K : KB_1 = 2:3\) означает, что:

• Пусть длина отрезка \(A_1K\) = \(2x\)
• Тогда длина отрезка \(KB_1\) = \(3x\)

Общая длина отрезка \(A_1B_1\) будет равна: \[ A_1B_1 = A_1K + KB_1 = 2x + 3x = 5x \]

Далее, аналогично для отрезка \(A_2B_2\):

• Длина отрезка \(A_2K\) = \(2x\) (так как точки \(A_1\) и \(A_2\) находятся на одной прямой)
• Длина отрезка \(KB_2\) = \(3x\)

Таким образом,: \[ A_2B_2 = A_2K + KB_2 = 2x + 3x = 5x \]

3. Определение длины отрезка \(B_1B_2\)

Теперь, поскольку параллельные планы, отрезки \(A_1A_2\) и \(B_1B_2\) будут пропорциональны: \[ \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_1K + KB_1}{A_2K + KB_2} \]

Из этого соотношения мы знаем: \[ \frac{10 \text{ см}}{B_1B_2} = \frac{5x}{5x} = 1 \] Таким образом, длина отрезка \(B_1B_2\) равна длине отрезка \(A_1A_2\): \[ B_1B_2 = 10 \text{ см} \]

Ответ

Длина отрезка \(B_1B_2\) равна \(10\) см.