б) В кубе А...D найдите тангенс угла между плоскостями: АВС и AB D.

Для того чтобы найти тангенс угла между плоскостями ABC и ABD в кубе, мы можем использовать векторы нормалей к этим плоскостям. Давайте поэтапно разберёмся, как это сделать.

Шаг 1: Определение координат вершин куба

Предположим, что куб имеет длину стороны 1 и располагается в координатной системе следующим образом:

• Вершина A: (0, 0, 0)
• Вершина B: (1, 0, 0)
• Вершина C: (1, 1, 0)
• Вершина D: (0, 1, 0)
• Вершина E: (0, 0, 1)
• Вершина F: (1, 0, 1)
• Вершина G: (1, 1, 1)
• Вершина H: (0, 1, 1)

Шаг 2: Определение векторов

Для плоскости ABC:

• Векторы:
  • AB = B - A = (1, 0, 0)
  • AC = C - A = (1, 1, 0)

Для плоскости ABD:

• Векторы:
  • AB = B - A = (1, 0, 0)
  • AD = D - A = (0, 1, 0)

Шаг 3: Нахождение векторов нормалей

Теперь мы можем определить векторы нормалей к плоскостям. Нормаль плоскости можно найти с помощью векторного произведения.

Нормаль к плоскости ABC:

\[ \vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 0, 0) \times (1, 1, 0) \]

Вычисляем векторное произведение:

\[ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1) \]

Таким образом, нормаль к плоскости ABC — это \(\vec{n_1} = (0, 0, 1)\).

Нормаль к плоскости ABD:

\[ \vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (1, 0, 0) \times (0, 1, 0) \]

Вычисляем векторное произведение:

\[ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1) \]

Таким образом, нормаль к плоскости ABD — это \(\vec{n_2} = (0, 0, 1)\).

Шаг 4: Нахождение угла между плоскостями

Теперь находим угол между плоскостями, используя нормали:

Формула для косинуса угла \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) имеет вид:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

В нашем случае, так как обе нормали равны и равны (0, 0, 1):

\[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 0 \]

Следовательно, \(|\vec{n_1}| = |\vec{n_2}| = 1\).

Тогда:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{1} = 1 \]

Шаг 5: Находим тангенс угла

Итак, поскольку угол между векторами равен 0, то:

\[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{0}{1} = 0 \]

Ответ:

Тангенс угла между плоскостями ABC и ABD равен 0.