Б) В кубе А...D найдите тангенс угла между плоскостями: АВС и AB D.

Для того чтобы найти тангенс угла между плоскостями ABC и ABD в кубе, мы можем использовать векторы нормалей к этим плоскостям. Давайте поэтапно разберёмся, как это сделать. ### Шаг 1: Определение координат вершин куба Предположим, что куб имеет длину стороны 1 и располагается в координатной системе следующим образом: - Вершина A: (0, 0, 0) - Вершина B: (1, 0, 0) - Вершина C: (1, 1, 0) - Вершина D: (0, 1, 0) - Вершина E: (0, 0, 1) - Вершина F: (1, 0, 1) - Вершина G: (1, 1, 1) - Вершина H: (0, 1, 1) ### Шаг 2: Определение векторов Для плоскости ABC: - Векторы: - AB = B - A = (1, 0, 0) - AC = C - A = (1, 1, 0) Для плоскости ABD: - Векторы: - AB = B - A = (1, 0, 0) - AD = D - A = (0, 1, 0) ### Шаг 3: Нахождение векторов нормалей Теперь мы можем определить векторы нормалей к плоскостям. Нормаль плоскости можно найти с помощью векторного произведения. #### Нормаль к плоскости ABC: \[ \vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (1, 0, 0) \times (1, 1, 0) \] Вычисляем векторное произведение: \[ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1) \] Таким образом, нормаль к плоскости ABC — это \(\vec{n_1} = (0, 0, 1)\). #### Нормаль к плоскости ABD: \[ \vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AD} = (1, 0, 0) \times (0, 1, 0) \] Вычисляем векторное произведение: \[ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 1) \] Таким образом, нормаль к плоскости ABD — это \(\vec{n_2} = (0, 0, 1)\). ### Шаг 4: Нахождение угла между плоскостями Теперь находим угол между плоскостями, используя нормали: Формула для косинуса угла \(\theta\) между двумя векторами \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) имеет вид: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \] В нашем случае, так как обе нормали равны и равны (0, 0, 1): \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) = 0 \] Следовательно, \(|\vec{n_1}| = |\vec{n_2}| = 1\). Тогда: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{1} = 1 \] ### Шаг 5: Находим тангенс угла Итак, поскольку угол между векторами равен 0, то: \[ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{0}{1} = 0 \] ### Ответ: Тангенс угла между плоскостями ABC и ABD равен 0.