Давайте разберем вашу задачу, пошагово решив каждый пункт.
Случайная величина X задана функцией распределения F(x):
Функция распределения F(x) для данной случайной величины X определена следующим образом:
[
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{при } x \leq 0 \
\frac{x}{6} & \text{при } 0 < x \leq 6 \
1 & \text{при } x > 6
\end{cases}
]
a) Найдите вероятность того, что в результате испытаний НСВ X попадет в заданный интервал (0; 0,5);
Чтобы найти вероятность ( P(0 < X < 0.5) ), мы можем воспользоваться функцией распределения:
[
P(0 < X < 0.5) = F(0.5) - F(0)
]
Находим ( F(0) ):
- По определению, ( F(0) = 0 ).
Находим ( F(0.5) ):
- Так как ( 0 < 0.5 \leq 6 ), подставляем в формулу: ( F(0.5) = \frac{0.5}{6} = \frac{1}{12} ).
Теперь, подставляя значения:
[
P(0 < X < 0.5) = F(0.5) - F(0) = \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12}
]
б) Постройте график функции распределения НСВ в его области определения;
График функции распределения F(x) будетPiecewise:
- На интервале ( (-\infty, 0] ): ( F(x) = 0 ).
- На интервале ( (0, 6] ): ( F(x) = \frac{x}{6} ) — прямая линия, идущая от ( (0, 0) ) до ( (6, 1) ).
- На интервале более 6: ( F(x) = 1 ).
График будет выглядеть следующим образом:
- От нуля по оси Y на интервале ( x \leq 0 ) — горизонтальная линия на уровне 0.
- Прямая линия от ( (0, 0) ) до ( (6, 1) ).
- Горизонтальная линия на уровне 1, начиная с ( x > 6 ).
в) Найдите плотность вероятности НСВ X и постройте график;
Плотность вероятности ( f(x) ) может быть найдена как производная функции распределения ( F(x) ):
[
f(x) = \frac{d}{dx} F(x)
]
В нашем случае:
- На интервале ( (-\infty, 0) ): ( f(x) = 0 ).
- На интервале ( (0, 6) ): ( f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{6} \right) = \frac{1}{6} ).
- На интервале ( (6, \infty) ): ( f(x) = 0 ).
Таким образом:
[
f(x) =
\begin{cases}
0 & \text{при } x \leq 0 \
\frac{1}{6} & \text{при } 0 < x < 6 \
0 & \text{при } x \geq 6
\end{cases}
]
График плотности вероятности будет:
- Горизонтальная линия на уровне 0 для ( x \leq 0 ).
- Горизонтальная линия на уровне ( \frac{1}{6} ) для ( 0 < x < 6 ).
- Горизонтальная линия на уровне 0 для ( x \geq 6 ).
г) Найдите числовые характеристики НСВ X;
Чтобы найти числовые характеристики, нам потребуются математическое ожидание и дисперсия.
1. Математическое ожидание ( E(X) ):
[
E(X) = \int_{0}^{6} x \cdot f(x) , dx
]
Подставляем ( f(x) = \frac{1}{6} ):
[
E(X) = \int_{0}^{6} x \cdot \frac{1}{6} , dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x , dx = \frac{1}{6} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{2} = \frac{36}{12} = 3
]
2. Дисперсия ( D(X) ):
Сначала найдем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \int_{0}^{6} x^2 \cdot f(x) , dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 , dx = \frac{1}{6} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{216}{3} = \frac{216}{18} = 12
]
Теперь вычислим дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 12 - 3^2 = 12 - 9 = 3
]
Итоговые числовые характеристики:
- Математическое ожидание ( E(X) = 3 )
- Дисперсия ( D(X) = 3 )
Таким образом, мы выполнили все пункты задания. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
