2.12 Решите задачи Случайная величина Х задана функцией распределения F(x); a) найдите вероятность того, что в результате испытаний НСВ Х попадет в заданный интервал (0; 0,5);…
2.12 Решите задачи Случайная величина Х задана функцией распределения F(x); a) найдите вероятность того, что в результате испытаний НСВ Х попадет в заданный интервал (0; 0,5); б)постройте график функции распределения НСВ в его области определения; в)найдите плотность вероятности НСВ Х и постройте график; г)найдите числовые характеристики НСВ Х, если: {0 при х<=0 F(x)={х/6 при 0<х<=6 {1 при х>6
Давайте разберем вашу задачу, пошагово решив каждый пункт.
Случайная величина X задана функцией распределения F(x):
Функция распределения F(x) для данной случайной величины X определена следующим образом:
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \leq 0 \\ \frac{x}{6} & \text{при } 0 < x \leq 6 \\ 1 & \text{при } x > 6 \end{cases} \]
a) Найдите вероятность того, что в результате испытаний НСВ X попадет в заданный интервал (0; 0,5);
Чтобы найти вероятность \( P(0 < X < 0.5) \), мы можем воспользоваться функцией распределения:
\[ P(0 < X < 0.5) = F(0.5) - F(0) \]
Находим \( F(0) \):
- По определению, \( F(0) = 0 \).
Находим \( F(0.5) \):
- Так как \( 0 < 0.5 \leq 6 \), подставляем в формулу: \( F(0.5) = \frac{0.5}{6} = \frac{1}{12} \).
Теперь, подставляя значения:
\[ P(0 < X < 0.5) = F(0.5) - F(0) = \frac{1}{12} - 0 = \frac{1}{12} \]
б) Постройте график функции распределения НСВ в его области определения;
График функции распределения F(x) будетPiecewise:
- На интервале \( (-\infty, 0] \): \( F(x) = 0 \).
- На интервале \( (0, 6] \): \( F(x) = \frac{x}{6} \) — прямая линия, идущая от \( (0, 0) \) до \( (6, 1) \).
- На интервале более 6: \( F(x) = 1 \).
График будет выглядеть следующим образом:
- От нуля по оси Y на интервале \( x \leq 0 \) — горизонтальная линия на уровне 0.
- Прямая линия от \( (0, 0) \) до \( (6, 1) \).
- Горизонтальная линия на уровне 1, начиная с \( x > 6 \).
в) Найдите плотность вероятности НСВ X и постройте график;
Плотность вероятности \( f(x) \) может быть найдена как производная функции распределения \( F(x) \):
\[ f(x) = \frac{d}{dx} F(x) \]
В нашем случае:
- На интервале \( (-\infty, 0) \): \( f(x) = 0 \).
- На интервале \( (0, 6) \): \( f(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{6} \right) = \frac{1}{6} \).
- На интервале \( (6, \infty) \): \( f(x) = 0 \).
Таким образом:
\[ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } x \leq 0 \\ \frac{1}{6} & \text{при } 0 < x < 6 \\ 0 & \text{при } x \geq 6 \end{cases} \]
График плотности вероятности будет:
- Горизонтальная линия на уровне 0 для \( x \leq 0 \).
- Горизонтальная линия на уровне \( \frac{1}{6} \) для \( 0 < x < 6 \).
- Горизонтальная линия на уровне 0 для \( x \geq 6 \).
г) Найдите числовые характеристики НСВ X;
Чтобы найти числовые характеристики, нам потребуются математическое ожидание и дисперсия.
1. Математическое ожидание \( E(X) \):
\[ E(X) = \int_{0}^{6} x \cdot f(x) \, dx \] Подставляем \( f(x) = \frac{1}{6} \):
\[ E(X) = \int_{0}^{6} x \cdot \frac{1}{6} \, dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x \, dx = \frac{1}{6} \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{2} = \frac{36}{12} = 3 \]
2. Дисперсия \( D(X) \):
Сначала найдем \( E(X^2) \):
\[ E(X^2) = \int_{0}^{6} x^2 \cdot f(x) \, dx = \frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^2 \, dx = \frac{1}{6} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{216}{3} = \frac{216}{18} = 12 \]
Теперь вычислим дисперсию:
\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 12 - 3^2 = 12 - 9 = 3 \]
Итоговые числовые характеристики:
- Математическое ожидание \( E(X) = 3 \)
- Дисперсия \( D(X) = 3 \)
Таким образом, мы выполнили все пункты задания. Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
