81-18х+х в квадрате меньше корень из 2(х-9)

Чтобы решить неравенство \( 81 - 18x + x^2 < \sqrt{2}(x - 9) \), начнем с его упрощения и преобразования. Мы последовательно выполним шаги, чтобы получить нужный результат.

Шаг 1: Переносим все члены в одну сторону

Для удобства начнем с переноса всех членов на одну сторону, чтобы сформировать стандартное неравенство:

\[ x^2 - 18x + 81 - \sqrt{2}(x - 9) < 0 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ x^2 - 18x + 81 - \sqrt{2}x + 9\sqrt{2} < 0 \]

Соберем подобные члены:

\[ x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) < 0 \]

Шаг 2: Нахождение корней квадратного уравнения

Теперь найдем корни квадратного уравнения, приравняв его к нулю:

\[ x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) = 0 \]

Используем формулу дискримината \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -(18 + \sqrt{2}) \), \( c = 81 + 9\sqrt{2} \):

\[ D = (-(18 + \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (81 + 9\sqrt{2}) \]

Простежим шаги:

1. Находим \( b^2 \): \[ (18 + \sqrt{2})^2 = 324 + 36\sqrt{2} + 2 = 326 + 36\sqrt{2} \]

2. Находим \( 4ac \): \[ 4(81 + 9\sqrt{2}) = 324 + 36\sqrt{2} \]

3. Подставим в формулу дискримината: \[ D = (326 + 36\sqrt{2}) - (324 + 36\sqrt{2}) = 2 \]

Шаг 3: Нахождение корней

Теперь вычислим корни, используя формулу корней:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2} \]

Это можно упростить до:

\[ x_1 = \frac{18 + 2\sqrt{2}}{2} = 9 + \sqrt{2} \]

\[ x_2 = \frac{18}{2} = 9 \]

Шаг 4: Определение интервалов

Теперь нам нужно исследовать, где парабола \( x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) \) меньше нуля. У нас есть два корня: \( x_1 = 9 + \sqrt{2} \) и \( x_2 = 9 \).

Парабола открыта вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен). Возьмем интервалы:

1. \( (-\infty, 9) \)
2. \( (9, 9 + \sqrt{2}) \)
3. \( (9 + \sqrt{2}, +\infty) \)

Шаг 5: Тестирование интервалов

Теперь протестируем знак неравенства в каждом интервале:

1. Для \( x < 9 \):

   • Пример: \( x = 0 \)
   • \( 0^2 - (18 + \sqrt{2}) \cdot 0 + (81 + 9\sqrt{2}) = 81 + 9\sqrt{2} > 0 \)

2. Для \( 9 < x < 9 + \sqrt{2} \):

   • Пример: \( x = 9.5 \)
   • Подставляя в неравенство, увидим, что результат будет меньше нуля.

3. Для \( x > 9 + \sqrt{2} \):

   • Пример: \( x = 10 \)
   • Парабола снова будет положительна.

Шаг 6: Записываем ответ

Таким образом, решение неравенства:

\[ 9 < x < 9 + \sqrt{2} \]

Итак, итоговое решение:

\[ x \in (9, 9 + \sqrt{2}) \]

Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять решение неравенств! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.