81-18х+х в квадрате меньше корень из 2(х-9)

Чтобы решить неравенство \( 81 - 18x + x^2 < \sqrt{2}(x - 9) \), начнем с его упрощения и преобразования. Мы последовательно выполним шаги, чтобы получить нужный результат. ### Шаг 1: Переносим все члены в одну сторону Для удобства начнем с переноса всех членов на одну сторону, чтобы сформировать стандартное неравенство: \[ x^2 - 18x + 81 - \sqrt{2}(x - 9) < 0 \] Теперь раскроем скобки: \[ x^2 - 18x + 81 - \sqrt{2}x + 9\sqrt{2} < 0 \] Соберем подобные члены: \[ x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) < 0 \] ### Шаг 2: Нахождение корней квадратного уравнения Теперь найдем корни квадратного уравнения, приравняв его к нулю: \[ x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) = 0 \] Используем формулу дискримината \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -(18 + \sqrt{2}) \), \( c = 81 + 9\sqrt{2} \): \[ D = (-(18 + \sqrt{2}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (81 + 9\sqrt{2}) \] Простежим шаги: 1. Находим \( b^2 \): \[ (18 + \sqrt{2})^2 = 324 + 36\sqrt{2} + 2 = 326 + 36\sqrt{2} \] 2. Находим \( 4ac \): \[ 4(81 + 9\sqrt{2}) = 324 + 36\sqrt{2} \] 3. Подставим в формулу дискримината: \[ D = (326 + 36\sqrt{2}) - (324 + 36\sqrt{2}) = 2 \] ### Шаг 3: Нахождение корней Теперь вычислим корни, используя формулу корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2} \] Это можно упростить до: \[ x_1 = \frac{18 + 2\sqrt{2}}{2} = 9 + \sqrt{2} \] \[ x_2 = \frac{18}{2} = 9 \] ### Шаг 4: Определение интервалов Теперь нам нужно исследовать, где парабола \( x^2 - (18 + \sqrt{2})x + (81 + 9\sqrt{2}) \) меньше нуля. У нас есть два корня: \( x_1 = 9 + \sqrt{2} \) и \( x_2 = 9 \). Парабола открыта вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен). Возьмем интервалы: 1. \( (-\infty, 9) \) 2. \( (9, 9 + \sqrt{2}) \) 3. \( (9 + \sqrt{2}, +\infty) \) ### Шаг 5: Тестирование интервалов Теперь протестируем знак неравенства в каждом интервале: 1. Для \( x < 9 \): - Пример: \( x = 0 \) - \( 0^2 - (18 + \sqrt{2}) \cdot 0 + (81 + 9\sqrt{2}) = 81 + 9\sqrt{2} > 0 \) 2. Для \( 9 < x < 9 + \sqrt{2} \): - Пример: \( x = 9.5 \) - Подставляя в неравенство, увидим, что результат будет меньше нуля. 3. Для \( x > 9 + \sqrt{2} \): - Пример: \( x = 10 \) - Парабола снова будет положительна. ### Шаг 6: Записываем ответ Таким образом, решение неравенства: \[ 9 < x < 9 + \sqrt{2} \] Итак, итоговое решение: \[ x \in (9, 9 + \sqrt{2}) \] Надеюсь, это объяснение помогло вам лучше понять решение неравенств! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.