Nº 6. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность появления хотя бы одного орла стала больше
0,95?
Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с вероятностями, связанными с бросками монеты.
1. **Основные понятия:**
- При броске честной монеты вероятность того, что мы получим орла (О) равна 0,5 (или 50%).
- Вероятность того, что мы не получим орла (т.е., получим решку, Р) также равна 0,5.
2. **Вероятность получения хотя бы одного орла:**
- Если мы бросаем монету \( n \) раз, то вероятность того, что не будет ни одного орла (т.е., будут только решки) за \( n \) бросков, равна \( (0,5)^n \).
- Соответственно, вероятность появления хотя бы одного орла после \( n \) бросков будет равна:
\[
P(\text{хотя бы один орел}) = 1 - P(\text{ни одного орла}) = 1 - (0,5)^n
\]
3. **Найдем \( n \), при котором эта вероятность превышает 0,95:**
- Нам нужно решить неравенство:
\[
1 - (0,5)^n > 0,95
\]
- Упростим это неравенство:
\[
(0,5)^n < 0,05
\]
4. **Преобразуем неравенство:**
- Возьмём логарифм от обеих частей. Сначала заметим, что логарифм от числа, меньше 1, отрицателен, поэтому при переходе от неравенства к логарифмам знак изменится:
\[
\log((0,5)^n) < \log(0,05)
\]
- Когда мы применяем свойства логарифмов, получаем:
\[
n \cdot \log(0,5) < \log(0,05)
\]
- Поскольку \( \log(0,5) < 0 \), неравенство снова изменит свой знак:
\[
n > \frac{\log(0,05)}{\log(0,5)}
\]
5. **Посчитаем значение:**
- Используем значения логарифмов (вы можете использовать калькулятор или таблицы логарифмов):
- \( \log(0,05) \approx -1,3010 \)
- \( \log(0,5) \approx -0,3010 \)
- Подставляя в формулу:
\[
n > \frac{-1,3010}{-0,3010} \approx 4,32
\]
- Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего числа: \( n = 5 \).
6. **Ответ:**
- Таким образом, нужно бросить монету **5 раз**, чтобы вероятность появления хотя бы одного орла стала больше 0,95.
