Nº 6. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность появления хотя бы одного орла стала больше 0,95?

Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с вероятностями, связанными с бросками монеты.

1. Основные понятия:

   • При броске честной монеты вероятность того, что мы получим орла (О) равна 0,5 (или 50%).
   • Вероятность того, что мы не получим орла (т.е., получим решку, Р) также равна 0,5.

2. Вероятность получения хотя бы одного орла:

   • Если мы бросаем монету \( n \) раз, то вероятность того, что не будет ни одного орла (т.е., будут только решки) за \( n \) бросков, равна \( (0,5)^n \).
   • Соответственно, вероятность появления хотя бы одного орла после \( n \) бросков будет равна: \[ P(\text{хотя бы один орел}) = 1 - P(\text{ни одного орла}) = 1 - (0,5)^n \]

3. Найдем \( n \), при котором эта вероятность превышает 0,95:

   • Нам нужно решить неравенство: \[ 1 - (0,5)^n > 0,95 \]
   • Упростим это неравенство: \[ (0,5)^n < 0,05 \]

4. Преобразуем неравенство:

   • Возьмём логарифм от обеих частей. Сначала заметим, что логарифм от числа, меньше 1, отрицателен, поэтому при переходе от неравенства к логарифмам знак изменится: \[ \log((0,5)^n) < \log(0,05) \]
   • Когда мы применяем свойства логарифмов, получаем: \[ n \cdot \log(0,5) < \log(0,05) \]
   • Поскольку \( \log(0,5) < 0 \), неравенство снова изменит свой знак: \[ n > \frac{\log(0,05)}{\log(0,5)} \]

5. Посчитаем значение:

   • Используем значения логарифмов (вы можете использовать калькулятор или таблицы логарифмов):
     • \( \log(0,05) \approx -1,3010 \)
     • \( \log(0,5) \approx -0,3010 \)
   • Подставляя в формулу: \[ n > \frac{-1,3010}{-0,3010} \approx 4,32 \]
   • Поскольку \( n \) должно быть целым числом, округляем до ближайшего большего числа: \( n = 5 \).

6. Ответ:

   • Таким образом, нужно бросить монету 5 раз, чтобы вероятность появления хотя бы одного орла стала больше 0,95.