Чтобы решить задачу о том, сколькими способами дети могут выбрать фрукты для приготовления фруктового салата, нужно понять, что мы имеем дело с выбором определённого количества каждого вида фрукта.
Итак, у нас есть:
- 9 бананов, необходимо выбрать 3
- 9 апельсинов, необходимо выбрать 2
- 8 яблок, необходимо выбрать 2
Мы применим формулу комбинаторики для выбора без повторений, которая выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( C(n, k) ) — количество способов выбрать ( k ) элементов из ( n );
- ( n! ) — факториал числа ( n );
- ( k! ) — факториал числа ( k ).
Теперь разберем каждую часть.
1. Выбор бананов
Для выбора 3 бананов из 9:
[
C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}
]
Вычислим:
[
C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84
]
2. Выбор апельсинов
Для выбора 2 апельсинов из 9:
[
C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!}
]
Вычислим:
[
C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36
]
3. Выбор яблок
Для выбора 2 яблок из 8:
[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!}
]
Вычислим:
[
C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28
]
Общий итог
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать фрукты, нам нужно перемножить количество способов для каждого типа фрукта:
[
\text{Общее количество способов} = C(9, 3) \times C(9, 2) \times C(8, 2)
]
Подставим значения:
[
\text{Общее количество способов} = 84 \times 36 \times 28
]
Теперь размножим:
Умножим 84 и 36:
[
84 \times 36 = 3024
]
Умножим результат на 28:
[
3024 \times 28 = 84672
]
Таким образом, дети могут выбрать фрукты для фруктового салата 84672 способами.
