.

Для решения задачи мы сначала разберём функцию и найдём её график. Функция \( f(x) \) дана в виде:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x} - 3, & \text{при } x < 0 \\ \frac{x}{4x - x^2 - 4}, & \text{при } x \geq 0 \end{cases} \]

Шаг 1: Анализ первой части функции \( \frac{3}{x} - 3 \) при \( x < 0 \)

1. Исследуем поведение при \( x \to 0^{-} \):

   • Приближаемся к нулю с отрицательной стороны: выражение стремится к \(-\infty\).

2. Значение точки разрыва:

   • При \( x = 0 \) функция не определена.

3. Горизонтальная асимптота:

   • При \( x \to -\infty \), \( \frac{3}{x} \to 0 \) и функция стремится к \( y = -3 \).

Шаг 2: Анализ второй части функции \( \frac{x}{4x - x^2 - 4} \) при \( x \geq 0 \)

1. Проанализируем знаменатель: \[ 4x - x^2 - 4 \]

   • Найдём нули: равенство \( 4x - x^2 - 4 = 0 \) эквивалентно \( -x^2 + 4x - 4 = 0 \).
   • Решим квадратное уравнение: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \).

2. Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \]

   • Поскольку дискриминант равен нулю, у нас один корень: \( x = 2 \).

3. Свойство функции:

   • При \( x = 2 \), знаменатель равен нулю, следовательно, в этой точке происходит разрыв (полюс).
   • Исследуйте поведение вокруг этой точки.

Шаг 3: Сравнение с прямой \( y = c \)

Мы ищем количество точек пересечения графика функции с прямой \( y = c \) в зависимости от \( c \).

1. Асимптоты и точки обрыва:

   • Первое выражение имеет горизонтальную асимптоту \( y = -3 \).
   • Второе выражение имеет разрыв в \( x = 2 \).

2. Анализ уровней:

   • Предположим, \( c \geq 0 \): необходимо исследовать, будет ли прямая пересекать график.

Итоговое резюме

• Найдите условие, при котором прямая пересекает график функции в заданном количестве точек:
  • График не имеет общих точек с прямой, если \( c < -3 \).
  • График имеет ровно одну общую точку, если \( c = -3 \).
  • Если \( -3 < c < 0 \), возможны две точки.
  • Исследуйте интервал \( c > 0 \) относительно второй части выражения.

Отсюда:

• График не имеет общих точек с прямой при \( c < -3 \) или специфических значения для \( c > 0 \).
• График может иметь одну общую точку при \( c = -3 \).
• График может иметь две общие точки при других значениях \( c \).

Этот подход поможет анализировать точные условия действий и количество пересечений.