.

Для решения задачи мы сначала разберём функцию и найдём её график. Функция \( f(x) \) дана в виде: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x} - 3, & \text{при } x < 0 \\ \frac{x}{4x - x^2 - 4}, & \text{при } x \geq 0 \end{cases} \] ### Шаг 1: Анализ первой части функции \( \frac{3}{x} - 3 \) при \( x < 0 \) 1. **Исследуем поведение при \( x \to 0^{-} \):** - Приближаемся к нулю с отрицательной стороны: выражение стремится к \(-\infty\). 2. **Значение точки разрыва:** - При \( x = 0 \) функция не определена. 3. **Горизонтальная асимптота:** - При \( x \to -\infty \), \( \frac{3}{x} \to 0 \) и функция стремится к \( y = -3 \). ### Шаг 2: Анализ второй части функции \( \frac{x}{4x - x^2 - 4} \) при \( x \geq 0 \) 1. **Проанализируем знаменатель:** \[ 4x - x^2 - 4 \] - Найдём нули: равенство \( 4x - x^2 - 4 = 0 \) эквивалентно \( -x^2 + 4x - 4 = 0 \). - Решим квадратное уравнение: \( x^2 - 4x + 4 = 0 \). 2. **Дискриминант:** \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \] - Поскольку дискриминант равен нулю, у нас один корень: \( x = 2 \). 3. **Свойство функции:** - При \( x = 2 \), знаменатель равен нулю, следовательно, в этой точке происходит разрыв (полюс). - Исследуйте поведение вокруг этой точки. ### Шаг 3: Сравнение с прямой \( y = c \) Мы ищем количество точек пересечения графика функции с прямой \( y = c \) в зависимости от \( c \). 1. **Асимптоты и точки обрыва:** - Первое выражение имеет горизонтальную асимптоту \( y = -3 \). - Второе выражение имеет разрыв в \( x = 2 \). 2. **Анализ уровней:** - Предположим, \( c \geq 0 \): необходимо исследовать, будет ли прямая пересекать график. ### Итоговое резюме - Найдите условие, при котором прямая пересекает график функции в заданном количестве точек: - График не имеет общих точек с прямой, если \( c < -3 \). - График имеет ровно одну общую точку, если \( c = -3 \). - Если \( -3 < c < 0 \), возможны две точки. - Исследуйте интервал \( c > 0 \) относительно второй части выражения. Отсюда: - График не имеет общих точек с прямой при \( c < -3 \) или специфических значения для \( c > 0 \). - График может иметь одну общую точку при \( c = -3 \). - График может иметь две общие точки при других значениях \( c \). Этот подход поможет анализировать точные условия действий и количество пересечений.