Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ox, прямыми x=a, x=b и графиком функции у=f(x) a=1, b=3, f(x)=6x-x2
Для того чтобы изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ox, прямыми \( x=a \), \( x=b \) и графиком функции \( y=f(x) \), выполните следующие шаги. В данной задаче у нас с вами:
- \( a = 1 \)
- \( b = 3 \)
- \( f(x) = 6x - x^2 \)
Шаг 1: Построение графика функции
Сначала нам необходимо построить график функции \( f(x) = 6x - x^2 \). Это квадратичная функция, которая имеет форму параболы. Чтобы построить ее, мы можем найти несколько ключевых точек.
Найдем вершину параболы:
Вершина квадратичной функции вида \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 6 \): \[ x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \]Поскольку \( y \) при \( x=3 \) будет: \[ f(3) = 6 \cdot 3 - 3^2 = 18 - 9 = 9 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, 9) \).
Найдем значения функции в точках \( a \) и \( b \):
- Для \( x=1 \): \[ f(1) = 6 \cdot 1 - 1^2 = 6 - 1 = 5 \quad \text{(точка (1, 5))} \]
- Для \( x=3 \): \[ f(3) = 9 \quad \text{(та же точка, что и выше)} \]
Найдем значение функции в \( x=0 \) (для начала графика): \[ f(0) = 6 \cdot 0 - 0^2 = 0 \quad \text{(точка (0, 0))} \]
Теперь у нас есть несколько точек: \( (0, 0) \), \( (1, 5) \), \( (3, 9) \) и, чтобы понять поведение функции, можно узнать значение в \( x=2 \): \[ f(2) = 6 \cdot 2 - 2^2 = 12 - 4 = 8 \quad \text{(точка (2, 8))} \]
Шаг 2: Построение осей координат и графика функции
Постройте оси координат: Убедитесь, что ось \( x \) идет от, по крайней мере, \( 0 \) до \( 4 \) (чтобы видеть точки \( x=1 \) и \( x=3 \)), а ось \( y \) — от \( 0 \) до \( 10 \).
Нанесите точки на график: Точки, которые мы нашли, \( (0, 0) \), \( (1, 5) \), \( (2, 8) \), \( (3, 9) \).
Постройте кривую: Соедините точки плавной линией, чтобы изобразить параболу.
Шаг 3: Определение области криволинейной трапеции
Криволинейная трапеция находится между прямыми \( x=a=1 \) и \( x=b=3 \):
- Вертикальные линии на \( x=1 \) и \( x=3 \) отсекают область под графиком функции от оси \( Ox \).
- Получаем отрезок по оси x от 1 до 3, и область под графиком функции между этими точками.
Шаг 4: Закрашивание области
Эту область можно закрасить, чтобы обозначить, что это эта самая криволинейная трапеция.
Вывод:
На графике будет парабола, ограниченная вертикальными линиями в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \) и осью \( Ox \). Это изображение и является ответом задачи. Теперь вы наглядно видите криволинейную трапецию, которая ограничена заданной функцией и вертикальными линиями.
