Задумали трѐхзначное число, все цифры которого
различны и первая цифра которого четная. Из него вычли
трехзначное число, записанное теми же цифрами в
обратном порядке. Получили число 495. Найдите сумму
наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих
таким условиям.
Для решения данной задачи начнем с разбора условий и шагов по нахождению искомых чисел.
1. **Пусть трёхзначное число обозначается как ABC**, где A, B и C — это цифры числа. Условие задачи утверждает, что:
- Цифры A, B и C различны.
- Первая цифра (A) четная.
Наиболее подходящие четные цифры для A (первая цифра): 2, 4, 6, 8.
2. **Запишем число, которое мы вычитаем, в обратном порядке**: это будет CBA.
3. **Запишем разность**:
\[
ABC - CBA = 495
\]
Выразим это уравнение в цифрах (десятки и единицы):
\[
(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 495
\]
Упрощаем это уравнение:
\[
100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 495
\]
\[
99A - 99C = 495
\]
\[
A - C = 5
\]
4. **Теперь мы знаем, что первая и последняя цифра отличаются на 5**. Так как A — четная, мы можем рассмотреть возможные значения:
1. Если A = 6, тогда C = 1.
2. Если A = 4, тогда C = -1 (не допустимо, т.к. цифра не может быть отрицательной).
3. Если A = 2, тогда C = -3 (не допустимо).
Таким образом, единственный подходящий вариант:
- \( A = 6 \)
- \( C = 1 \)
5. **Теперь найдем значение B**. Пара цифр A и C уже дана: A = 6 и C = 1. Теперь B может быть любой цифрой от 0 до 9, но не может быть равным 1 и 6. Возможные варианты для B: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
6. **Рассмотрим все возможные числа, которые могут получиться**:
- При B = 0: 601 - 106 = 495
- При B = 2: 621 - 126 = 495
- При B = 3: 631 - 136 = 495
- При B = 4: 641 - 146 = 495
- При B = 5: 651 - 156 = 495
- При B = 7: 671 - 176 = 495
- При B = 8: 681 - 186 = 495
- При B = 9: 691 - 196 = 495
Таким образом, три числа, удовлетворяющих условиям, это: 601, 621, 631, 641, 651, 671, 681, 691.
7. **Находим наименьшее и наибольшее число**:
- Наименьшее: 601
- Наибольшее: 691
8. **Теперь найдём сумму наименьшего и наибольшего числа**:
\[
601 + 691 = 1292
\]
Таким образом, **сумма наименьшего и наибольшего чисел** равна **1292**.
