Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) = 3\sin(3x) - \cos(2x) ) в точке с абсциссой ( x = \frac{\pi}{6} ), необходимо сначала вычислить производную функции ( f(x) ). Угловой коэффициент касательной в данной точке равен значению производной в этой точке.
Шаг 1: Найдем производную функции.
Функцию ( f(x) ) можно дифференцировать по следующему правилу:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3\sin(3x)) - \frac{d}{dx}(\cos(2x))
]
Применяем производные к каждой части.
Производная ( 3\sin(3x) ):
[
\frac{d}{dx}(3\sin(3x)) = 3 \cdot 3\cos(3x) = 9\cos(3x)
]
Производная ( -\cos(2x) ):
[
\frac{d}{dx}(-\cos(2x)) = 2\sin(2x)
]
Теперь соберем все вместе:
[
f'(x) = 9\cos(3x) + 2\sin(2x)
]
Шаг 2: Подставим значение ( x = \frac{\pi}{6} ) в производную.
Теперь вычислим производную в точке ( x = \frac{\pi}{6} ):
[
f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 9\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + 2\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)
]
Упростим аргументы тригонометрических функций:
- ( 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} )
- ( 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} )
Теперь вычислим значения тригонометрических функций:
[
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
]
[
\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Подставим это в равнение для производной:
[
f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = 9 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
]
Шаг 3: Заключение.
Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) ) в точке ( x = \frac{\pi}{6} ) равен:
[
\sqrt{3}
]
