Для того чтобы найти синус угла ( A ), если нам известен его косинус (касинус), можно воспользоваться тригонометрической единицей, которая гласит:
[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1
]
Дадим сначала обозначение для косинуса:
[
\cos A = \frac{1}{5}
]
Теперь подставим это значение в указанную формулу:
[
\sin^2 A + \left( \frac{1}{5} \right)^2 = 1
]
Далее находим ( \left( \frac{1}{5} \right)^2 ):
[
\left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25}
]
Теперь подставляем это значение обратно в формулу:
[
\sin^2 A + \frac{1}{25} = 1
]
Чтобы изолировать ( \sin^2 A ), вычтем ( \frac{1}{25} ) с обеих сторон:
[
\sin^2 A = 1 - \frac{1}{25}
]
Преобразуем ( 1 ) в дробь с тем же знаменателем:
[
1 = \frac{25}{25}
]
Теперь можем продолжить:
[
\sin^2 A = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}
]
Теперь находим ( \sin A ) — чтобы это сделать, извлечём квадратный корень из обеих сторон:
[
\sin A = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}
]
Мы можем упростить ( \sqrt{24} ):
[
\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
]
Таким образом, окончательно:
[
\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}
]
Теперь у нас есть значение синуса угла ( A ):
[
\sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5}
]
Итак, ответ: ( \sin A = \frac{2\sqrt{6}}{5} ).
