петя с друзьями по субботам собираются и играют в настольные игры определите вероятность того что при 9 петиных подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадает 5

Чтобы определить вероятность того, что при 9 подбрасываниях игральной кости число 5 выпадает ровно 1 раз, мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров

1. Количество испытаний (n): У нас есть 9 подбрасываний игральной кости, значит \( n = 9 \).
2. Вероятность успеха (p): Вероятность выпадения 5 при одном подбрасывании равна \( \frac{1}{6} \), так как на игральной кости 6 граней.
3. Вероятность неудачи (q): Соответственно, вероятность того, что не выпадает 5, равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).

Шаг 2: Использование биномиальной формулы

Вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, вычисляется по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( \frac{n!}{k!(n - k)!} \).
• \( p \) — вероятность успеха.
• \( q \) — вероятность неудачи.
• \( n \) — общее количество испытаний.
• \( k \) — количество успешных исходов, в нашем случае \( k = 1 \).

Шаг 3: Вычисления

1. Сначала найдем биномиальный коэффициент \( C(9, 1) \):

\[ C(9, 1) = \frac{9!}{1! \cdot (9 - 1)!} = \frac{9 \times 8!}{1 \times 8!} = 9 \]

2. Подставим значения в формулу:

\[ P(X = 1) = C(9, 1) \cdot p^1 \cdot q^{9 - 1} \]

где:

• \( p = \frac{1}{6} \)
• \( q = \frac{5}{6} \)

Поставим это в формулу:

\[ P(X = 1) = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \]

Шаг 4: Вычисляем \( \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \)

Сначала найдем \( \left(\frac{5}{6}\right)^8 \):

\[ \left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 0.232 (с округлением) \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ P(X = 1) \approx 9 \cdot \frac{1}{6} \cdot 0.232 \approx 9 \cdot 0.03867 \approx 0.347 (округляя) \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что при 9 подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 5, составляет примерно \( 0.347 \) или 34.7%.