Чтобы определить вероятность того, что при 9 подбрасываниях игральной кости число 5 выпадает ровно 1 раз, мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.
Шаг 1: Определение параметров
- Количество испытаний (n): У нас есть 9 подбрасываний игральной кости, значит ( n = 9 ).
- Вероятность успеха (p): Вероятность выпадения 5 при одном подбрасывании равна ( \frac{1}{6} ), так как на игральной кости 6 граней.
- Вероятность неудачи (q): Соответственно, вероятность того, что не выпадает 5, равна ( q = 1 - p = \frac{5}{6} ).
Шаг 2: Использование биномиальной формулы
Вероятность того, что событие произойдет ровно ( k ) раз в ( n ) испытаниях, вычисляется по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как ( \frac{n!}{k!(n - k)!} ).
- ( p ) — вероятность успеха.
- ( q ) — вероятность неудачи.
- ( n ) — общее количество испытаний.
- ( k ) — количество успешных исходов, в нашем случае ( k = 1 ).
Шаг 3: Вычисления
- Сначала найдем биномиальный коэффициент ( C(9, 1) ):
[
C(9, 1) = \frac{9!}{1! \cdot (9 - 1)!} = \frac{9 \times 8!}{1 \times 8!} = 9
]
- Подставим значения в формулу:
[
P(X = 1) = C(9, 1) \cdot p^1 \cdot q^{9 - 1}
]
где:
- ( p = \frac{1}{6} )
- ( q = \frac{5}{6} )
Поставим это в формулу:
[
P(X = 1) = 9 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{8}
]
Шаг 4: Вычисляем ( \left(\frac{5}{6}\right)^{8} )
Сначала найдем ( \left(\frac{5}{6}\right)^8 ):
[
\left(\frac{5}{6}\right)^8 \approx 0.232 (с округлением)
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
P(X = 1) \approx 9 \cdot \frac{1}{6} \cdot 0.232 \approx 9 \cdot 0.03867 \approx 0.347 (округляя)
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что при 9 подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 5, составляет примерно ( 0.347 ) или 34.7%.
