Книга содержит N страниц, которые пронумерованы стандартно: от 1 до N. Если сложить количество цифр (не сами числа), что содержатся в каждом номере страницы, выйдет 1095. Сколько в книге страниц?

Чтобы решить задачу, давайте разберем, как мы можем подсчитать количество цифр, которые используются для пронумерования страниц от 1 до N. 1. **Определим диапазоны страниц**: - **Страницы от 1 до 9**: Каждая страница имеет 1 цифру. - Всего страниц: 9 (1, 2, 3, ..., 9) - Всего цифр: 9 * 1 = 9 цифр. - **Страницы от 10 до 99**: Каждая страница имеет 2 цифры. - Всего страниц: 99 - 10 + 1 = 90 (10, 11, ..., 99) - Всего цифр: 90 * 2 = 180 цифр. - **Страницы от 100 до 999**: Каждая страница имеет 3 цифры. - Мы обозначим количество страниц в этом диапазоне как \(x\), которые могут варьироваться в зависимости от значения N. 2. **Общее количество цифр**: - Общее количество цифр будет равно суммарному количеству цифр из всех диапазонов. Мы можем записать это уравнение: \[ 9 + 180 + 3x = 1095 \] где \(x\) — это количество страниц от 100 до N, если N находится в диапазоне от 100 до 999. 3. **Решение уравнения**: - Перепишем уравнение: \[ 189 + 3x = 1095 \] - Выразим \(3x\): \[ 3x = 1095 - 189 \] \[ 3x = 906 \] - Теперь найдем \(x\): \[ x = \frac{906}{3} = 302 \] 4. **Определим N**: - Поскольку \(x\) — это количество страниц от 100 до N, и мы знаем, что начиная с 100 до N имеется 302 страницы, тогда: \[ N = 100 + 302 - 1 = 401 \] (вычитаем 1, так как первая страница в этом диапазоне - это 100). Таким образом, количество страниц в книге составляет **401**.