Для решения задачи о скорости лодки в неподвижной воде рассмотрим следующую схему.
Обозначим:
- ( v ) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
- ( v_{t} ) — скорость течения реки (в данном случае ( v_{t} = 1 ) км/ч).
- О время в пути против течения будем обозначать ( t_{1} ).
- О время в пути с течением обозначим ( t_{2} ).
Шаг 1: Записываем уравнения на основании условий задачи.
Путь против течения:
Когда лодка идет против течения, ее скорость будет ( v - v_{t} = v - 1 ) км/ч. Расстояние, которое прошла лодка, составляет 255 км.
Используя формулу ( \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} ), время, затраченное на путь против течения:
[
t_{1} = \frac{255}{v - 1}
]
Путь с течением:
Когда лодка возвращается обратно, ее скорость будет ( v + v_{t} = v + 1 ) км/ч. Время, затраченное на обратный путь (возвращение):
[
t_{2} = \frac{255}{v + 1}
]
Шаг 2: Учитываем данное условие.
Согласно условию, обратный путь занял на 2 часа меньше, чем путь против течения:
[
t_{2} = t_{1} - 2
]
Теперь подставим выражения для ( t_{1} ) и ( t_{2} ):
[
\frac{255}{v + 1} = \frac{255}{v - 1} - 2
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение.
Умножим все на ( (v + 1)(v - 1) ) (это поможет избавиться от дробей):
[
255(v - 1) = 255(v + 1) - 2(v + 1)(v - 1)
]
Раскроем скобки:
[
255v - 255 = 255v + 255 - 2(v^2 - 1)
]
[
255v - 255 = 255v + 255 - 2v^2 + 2
]
Упростим:
[
-255 = 255 - 2v^2 + 2
]
[
-255 = 257 - 2v^2
]
[
-2v^2 = -255 - 257
]
[
-2v^2 = -512
]
[
2v^2 = 512
]
[
v^2 = 256
]
Шаг 4: Находим скорость лодки.
Извлечем квадратный корень:
[
v = \sqrt{256} = 16
]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет 16 км/ч.
