Моторная лодка прошла против течения реки 255 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость…

Для решения задачи о скорости лодки в неподвижной воде рассмотрим следующую схему.

Обозначим:

• \( v \) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• \( v_{t} \) — скорость течения реки (в данном случае \( v_{t} = 1 \) км/ч).
• О время в пути против течения будем обозначать \( t_{1} \).
• О время в пути с течением обозначим \( t_{2} \).

Шаг 1: Записываем уравнения на основании условий задачи.

Путь против течения: Когда лодка идет против течения, ее скорость будет \( v - v_{t} = v - 1 \) км/ч. Расстояние, которое прошла лодка, составляет 255 км.

Используя формулу \( \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость}} \), время, затраченное на путь против течения: \[ t_{1} = \frac{255}{v - 1} \]

Путь с течением: Когда лодка возвращается обратно, ее скорость будет \( v + v_{t} = v + 1 \) км/ч. Время, затраченное на обратный путь (возвращение): \[ t_{2} = \frac{255}{v + 1} \]

Шаг 2: Учитываем данное условие.

Согласно условию, обратный путь занял на 2 часа меньше, чем путь против течения: \[ t_{2} = t_{1} - 2 \]

Теперь подставим выражения для \( t_{1} \) и \( t_{2} \): \[ \frac{255}{v + 1} = \frac{255}{v - 1} - 2 \]

Шаг 3: Упрощаем уравнение.

Умножим все на \( (v + 1)(v - 1) \) (это поможет избавиться от дробей): \[ 255(v - 1) = 255(v + 1) - 2(v + 1)(v - 1) \]

Раскроем скобки: \[ 255v - 255 = 255v + 255 - 2(v^2 - 1) \] \[ 255v - 255 = 255v + 255 - 2v^2 + 2 \]

Упростим: \[ -255 = 255 - 2v^2 + 2 \] \[ -255 = 257 - 2v^2 \] \[ -2v^2 = -255 - 257 \] \[ -2v^2 = -512 \] \[ 2v^2 = 512 \] \[ v^2 = 256 \]

Шаг 4: Находим скорость лодки.

Извлечем квадратный корень: \[ v = \sqrt{256} = 16 \]

Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет 16 км/ч.