хорда окружности равна 5√2 и стягивает дугу в 90°. найдите длину дуги и площадь соотвественного сектора
Чтобы найти длину дуги и площадь сектора, стягиваемого хорда, сначала рассмотрим, что нам известно:
- Длина хорды = \(5\sqrt{2}\)
- Угол, стягиваемый хордой, равен \(90^\circ\).
Шаг 1: Найдем радиус окружности
Для начала мы можем воспользоваться свойством окружности, в частности, чтобы найти радиус окружности, используя известную длину хорды и угол, который она стягивает.
Для окружности с радиусом \(R\) и углом \(θ\) (в радианах), длина хорды может быть найдена по формуле: \[ L = 2R \sin\left(\frac{θ}{2}\right) \] Где:
- \(L\) — длина хорды,
- \(θ\) — угол в радианах.
Переведем угол \(90^\circ\) в радианы: \[ θ = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад} \] Теперь подставляем значение в формулу: \[ 5\sqrt{2} = 2R \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right) \] \[ 5\sqrt{2} = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \] Мы знаем, что \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ 5\sqrt{2} = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Упрощаем: \[ 5\sqrt{2} = R\sqrt{2} \] Теперь разделим обе стороны на \(\sqrt{2}\): \[ R = 5 \]
Шаг 2: Найдем длину дуги
Длина дуги \(L_{\text{дуги}}\) для окружности определяется формулой: \[ L_{\text{дуги}} = R \cdot θ \] где \(θ\) — угол в радианах. Итак: \[ L_{\text{дуги}} = 5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \]
Шаг 3: Найдем площадь сектора
Площадь сектора \(A\) можно найти по формуле: \[ A = \frac{1}{2} R^2 θ \] Подставим значения: \[ A = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{\pi}{2} \] \[ A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{25\pi}{4} \]
Итоговые ответы:
- Длина дуги: \(L_{\text{дуги}} = \frac{5\pi}{2}\)
- Площадь сектора: \(A = \frac{25\pi}{4}\)
Таким образом, мы нашли длину дуги и площадь сектора для данной хорды окружности.
