Чтобы найти длину дуги и площадь сектора, стягиваемого хорда, сначала рассмотрим, что нам известно:
- Длина хорды = (5\sqrt{2})
- Угол, стягиваемый хордой, равен (90^\circ).
Шаг 1: Найдем радиус окружности
Для начала мы можем воспользоваться свойством окружности, в частности, чтобы найти радиус окружности, используя известную длину хорды и угол, который она стягивает.
Для окружности с радиусом (R) и углом (θ) (в радианах), длина хорды может быть найдена по формуле:
[
L = 2R \sin\left(\frac{θ}{2}\right)
]
Где:
- (L) — длина хорды,
- (θ) — угол в радианах.
Переведем угол (90^\circ) в радианы:
[
θ = 90^\circ = \frac{\pi}{2} \text{ рад}
]
Теперь подставляем значение в формулу:
[
5\sqrt{2} = 2R \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)
]
[
5\sqrt{2} = 2R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
Мы знаем, что (\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}):
[
5\sqrt{2} = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Упрощаем:
[
5\sqrt{2} = R\sqrt{2}
]
Теперь разделим обе стороны на (\sqrt{2}):
[
R = 5
]
Шаг 2: Найдем длину дуги
Длина дуги (L_{\text{дуги}}) для окружности определяется формулой:
[
L_{\text{дуги}} = R \cdot θ
]
где (θ) — угол в радианах. Итак:
[
L_{\text{дуги}} = 5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}
]
Шаг 3: Найдем площадь сектора
Площадь сектора (A) можно найти по формуле:
[
A = \frac{1}{2} R^2 θ
]
Подставим значения:
[
A = \frac{1}{2} \cdot 5^2 \cdot \frac{\pi}{2}
]
[
A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{25\pi}{4}
]
Итоговые ответы:
- Длина дуги: (L_{\text{дуги}} = \frac{5\pi}{2})
- Площадь сектора: (A = \frac{25\pi}{4})
Таким образом, мы нашли длину дуги и площадь сектора для данной хорды окружности.
