В треугольнике авс известно что ас=7 угол а=60° угол с=90° найти радиус описанной окружности этого треугольника

Для решения задачи о нахождении радиуса описанной окружности треугольника \(ABC\) с заданными величинами, следуем по следующему плану.

Дано:

• \(AC = 7\)
• угол \(A = 60^\circ\)
• угол \(C = 90^\circ\)

Шаг 1: Определим стороны треугольника

Сначала найдём сторону \(AB\) для прямоугольного треугольника \(ABC\). У нас есть угол \(C = 90^\circ\), поэтому можем использовать свойства тригонометрии.

В треугольнике \(ABC\) можно записать:

• \( \sin A = \frac{перпендикуляр}{гипотенуза} \)
• \( \cos A = \frac{основание}{гипотенуза} \)

Мы знаем, что \(AC\) – это одна из катетов (гипотенуза). Обозначим \(AB = c\) и \(BC = a\).

Используем формулу для нахождения стороны \(BC\): \[ BC = AC \cdot \sin A \] Подставляем известные значения: \[ BC = 7 \cdot \sin(60^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \]

Теперь найдём сторону \(AB\): \[ AB = AC \cdot \cos A = 7 \cdot \cos(60^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \]

Шаг 2: Находим радиус описанной окружности

Радиус \(R\) описанной окружности \(ABC\) можно найти по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \(a\), \(b\), и \(c\) – это длины сторон треугольника, а \(S\) – площадь треугольника.

Сначала находим \(S\). Поскольку треугольник прямоугольный, его площадь можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \]

Теперь подставим длины сторон:

• \(a = AB = \frac{7}{2}\)
• \(b = AC = 7\)
• \(c = BC = \frac{7\sqrt{3}}{2}\)

Шаг 3: Подставляем в формулу для радиуса

Теперь можем подставить все в формулу для \(R\): \[ R = \frac{\left(\frac{7}{2}\right) \cdot 7 \cdot \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)}{4 \cdot \frac{49\sqrt{3}}{4}} \] Сначала упростим числитель: \[ \text{Числитель} = \frac{7}{2} \cdot 7 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{343\sqrt{3}}{4} \] Теперь выделим \(4\) в знаменателе: \[ R = \frac{\frac{343\sqrt{3}}{4}}{49\sqrt{3}} = \frac{343}{49 \cdot 4} = \frac{343}{196} \]

Шаг 4: Привести к простому виду

Теперь берём \(343\) и \(196\) можно сократить до: \[ R = \frac{49}{28} = \frac{7}{4} \]

Ответ

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника \(ABC\) равен: \[ R = \frac{7}{4} \]

Вот так, шаг за шагом, мы нашли радиус описанной окружности треугольника!