В треугольнике авс известно что ас=7 угол а=60° угол с=90° найти радиус описанной окружности этого треугольника

Для решения задачи о нахождении радиуса описанной окружности треугольника \(ABC\) с заданными величинами, следуем по следующему плану. ### Дано: - \(AC = 7\) - угол \(A = 60^\circ\) - угол \(C = 90^\circ\) ### Шаг 1: Определим стороны треугольника Сначала найдём сторону \(AB\) для прямоугольного треугольника \(ABC\). У нас есть угол \(C = 90^\circ\), поэтому можем использовать свойства тригонометрии. В треугольнике \(ABC\) можно записать: - \( \sin A = \frac{перпендикуляр}{гипотенуза} \) - \( \cos A = \frac{основание}{гипотенуза} \) Мы знаем, что \(AC\) – это одна из катетов (гипотенуза). Обозначим \(AB = c\) и \(BC = a\). Используем формулу для нахождения стороны \(BC\): \[ BC = AC \cdot \sin A \] Подставляем известные значения: \[ BC = 7 \cdot \sin(60^\circ) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \] Теперь найдём сторону \(AB\): \[ AB = AC \cdot \cos A = 7 \cdot \cos(60^\circ) = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] ### Шаг 2: Находим радиус описанной окружности Радиус \(R\) описанной окружности \(ABC\) можно найти по формуле: \[ R = \frac{abc}{4S} \] где \(a\), \(b\), и \(c\) – это длины сторон треугольника, а \(S\) – площадь треугольника. Сначала находим \(S\). Поскольку треугольник прямоугольный, его площадь можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{4} \] Теперь подставим длины сторон: - \(a = AB = \frac{7}{2}\) - \(b = AC = 7\) - \(c = BC = \frac{7\sqrt{3}}{2}\) ### Шаг 3: Подставляем в формулу для радиуса Теперь можем подставить все в формулу для \(R\): \[ R = \frac{\left(\frac{7}{2}\right) \cdot 7 \cdot \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)}{4 \cdot \frac{49\sqrt{3}}{4}} \] Сначала упростим числитель: \[ \text{Числитель} = \frac{7}{2} \cdot 7 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{2} = \frac{343\sqrt{3}}{4} \] Теперь выделим \(4\) в знаменателе: \[ R = \frac{\frac{343\sqrt{3}}{4}}{49\sqrt{3}} = \frac{343}{49 \cdot 4} = \frac{343}{196} \] ### Шаг 4: Привести к простому виду Теперь берём \(343\) и \(196\) можно сократить до: \[ R = \frac{49}{28} = \frac{7}{4} \] ### Ответ Таким образом, радиус описанной окружности треугольника \(ABC\) равен: \[ R = \frac{7}{4} \] Вот так, шаг за шагом, мы нашли радиус описанной окружности треугольника!