Для решения данной задачи мы будем работать с игральной костью и случайной величиной ( X ), которая равна числу выпадения четного числа очков при 64 бросках.
Шаг 1: Определение случайной величины
Сначала определим, какие четные числа могут выпасть на игральной кости. На стандартной шестигранной (обычной) кости цифры от 1 до 6. Четными числами являются 2, 4 и 6. Это три из шести возможных исходов.
Шаг 2: Вероятность выпадения четного числа
Вероятность того, что при броске кубика выпадет четное число, будет:
[
P(\text{четное}) = \frac{\text{количество четных чисел}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Таким образом, ( P(\text{четное}) = 0.5 ).
Шаг 3: Математическое ожидание
Поскольку ( X ) — это количество выпадений четных чисел в 64 бросках, мы можем использовать формулу для математического ожидания для биномиального распределения:
[
E(X) = n \cdot p
]
где ( n ) — количество испытаний (бросков), ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае, выпадение четного числа).
Подставим значения:
[
E(X) = 64 \cdot 0.5 = 32
]
Шаг 4: Дисперсия
Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле:
[
D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)
]
Подставим значения:
[
D(X) = 64 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = 64 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 16
]
Шаг 5: Стандартное отклонение
Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии:
[
\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{16} = 4
]
Итог
Таким образом, мы нашли математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение:
- Математическое ожидание ( E(X) ): 32
- Дисперсия ( D(X) ): 16
- Стандартное отклонение ( \sigma ): 4
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другие задачи, не стесняйтесь спрашивать!
