Игральную кость бросили 64 раза. Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение случайной величины X, равной числу выпадения четного числа очков.

Для решения данной задачи мы будем работать с игральной костью и случайной величиной \( X \), которая равна числу выпадения четного числа очков при 64 бросках.

Шаг 1: Определение случайной величины

Сначала определим, какие четные числа могут выпасть на игральной кости. На стандартной шестигранной (обычной) кости цифры от 1 до 6. Четными числами являются 2, 4 и 6. Это три из шести возможных исходов.

Шаг 2: Вероятность выпадения четного числа

Вероятность того, что при броске кубика выпадет четное число, будет:

\[ P(\text{четное}) = \frac{\text{количество четных чисел}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, \( P(\text{четное}) = 0.5 \).

Шаг 3: Математическое ожидание

Поскольку \( X \) — это количество выпадений четных чисел в 64 бросках, мы можем использовать формулу для математического ожидания для биномиального распределения:

\[ E(X) = n \cdot p \]

где \( n \) — количество испытаний (бросков), \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, выпадение четного числа).

Подставим значения:

\[ E(X) = 64 \cdot 0.5 = 32 \]

Шаг 4: Дисперсия

Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле:

\[ D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) \]

Подставим значения:

\[ D(X) = 64 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = 64 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 16 \]

Шаг 5: Стандартное отклонение

Стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{16} = 4 \]

Итог

Таким образом, мы нашли математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение:

• Математическое ожидание \( E(X) \): 32
• Дисперсия \( D(X) \): 16
• Стандартное отклонение \( \sigma \): 4

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другие задачи, не стесняйтесь спрашивать!