Для того чтобы узнать, сколько корней имеет уравнение ( x^4 + 6x^2 - 4 = 0 ), сначала сделаем замену переменной. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение можно переписать так:
[
y^2 + 6y - 4 = 0
]
Теперь это квадратное уравнение относительно ( y ). Мы можем найти его корни с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = 6 ), ( c = -4 ). Подставим наши значения в формулу:
- Рассчитаем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52
]
- Теперь подставим ( D ) в формулу:
[
y = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13}
]
Это дает нам два значения ( y ):
[
y_1 = -3 + \sqrt{13} \quad \text{и} \quad y_2 = -3 - \sqrt{13}
]
- Теперь проверим, какие из этих значений могут быть подходящими для ( y = x^2 ). Поскольку ( x^2 ) всегда неотрицательно, нам нужно найти, какие из ( y_1 ) и ( y_2 ) являются неотрицательными:
- ( y_1 = -3 + \sqrt{13} ): Значение ( \sqrt{13} ) примерно равно ( 3.605 ), следовательно:
[
y_1 \approx -3 + 3.605 = 0.605 > 0 \quad \text{(это значение допустимо)}
]
- ( y_2 = -3 - \sqrt{13} ):
[
y_2 \approx -3 - 3.605 \approx -6.605 < 0 \quad \text{(это значение недопустимо)}
]
- Теперь мы имеем только одно подходящее значение ( y_1 > 0 ), что значит, что у нас есть одно значение для ( x^2 ), а значит:
[
x^2 = -3 + \sqrt{13}
]
Так как у каждого положительного ( y ) существует два значения ( x ) (положительное и отрицательное), у нас будет два корня для уравнения ( x^4 + 6x^2 - 4 = 0 ).
Ответ: У уравнения ( x^4 + 6x^2 - 4 = 0 ) 2 корня.
