Сколько корней имеет уравнение: x4+6x2−4=0 Вопрос 11Выберите один ответ: ни одного 2 4 1
Для того чтобы узнать, сколько корней имеет уравнение \( x^4 + 6x^2 - 4 = 0 \), сначала сделаем замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать так:
\[ y^2 + 6y - 4 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение относительно \( y \). Мы можем найти его корни с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = 6 \), \( c = -4 \). Подставим наши значения в формулу:
- Рассчитаем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 36 + 16 = 52 \]
- Теперь подставим \( D \) в формулу:
\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -3 \pm \sqrt{13} \]
Это дает нам два значения \( y \):
\[ y_1 = -3 + \sqrt{13} \quad \text{и} \quad y_2 = -3 - \sqrt{13} \]
- Теперь проверим, какие из этих значений могут быть подходящими для \( y = x^2 \). Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, нам нужно найти, какие из \( y_1 \) и \( y_2 \) являются неотрицательными:
- \( y_1 = -3 + \sqrt{13} \): Значение \( \sqrt{13} \) примерно равно \( 3.605 \), следовательно:
\[ y_1 \approx -3 + 3.605 = 0.605 > 0 \quad \text{(это значение допустимо)} \]
- \( y_2 = -3 - \sqrt{13} \):
\[ y_2 \approx -3 - 3.605 \approx -6.605 < 0 \quad \text{(это значение недопустимо)} \]
- Теперь мы имеем только одно подходящее значение \( y_1 > 0 \), что значит, что у нас есть одно значение для \( x^2 \), а значит:
\[ x^2 = -3 + \sqrt{13} \]
Так как у каждого положительного \( y \) существует два значения \( x \) (положительное и отрицательное), у нас будет два корня для уравнения \( x^4 + 6x^2 - 4 = 0 \).
Ответ: У уравнения \( x^4 + 6x^2 - 4 = 0 \) 2 корня.
