Контрольная работа 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК Вариант 1 1. Начертите прямоугольный треугольник, около которого описана окружность. Сделайте все необходимые обозначения. 2. 3. 4. - В угол С величиной 100° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О центр окружности. Найдите угол АОВ. На окружности отмечены точки А и В так, что угол АОВ равен 150°. Прямая ВС касается окружности в точке В так, что угол АВС острый. Найдите угол АВС. B В треугольнике АВС известно, что АС = 7, A = 60°, угол С равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. 5. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и АВС = 110°. Найдите угол ВОС. B 6. Окружность с центром О вписана в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Докажите, что ДАВО = ДВСО. 7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 21, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника. 8*. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12. 2 O Ш

Давайте разберем каждую задачу из контрольной работы по геометрии с объяснениями. ### Задача 1: Построение прямоугольного треугольника с описанной окружностью **Шаг 1:** Начертите прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. **Шаг 2:** Найдите середину гипотенузы AB и обозначьте ее точкой O. **Шаг 3:** Используя радиус, равный половине длины AB, нарисуйте окружность с центром в точке O, которая будет описанной окружностью треугольника ABC. ### Задача 2: Угол AOB У нас есть угол C = 100° и велено найти угол AOB. Поскольку точка O является центром окружности и точки A и B касаются окружности, угол AOB будет равен 2*угол C, то есть: \[ \angle AOB = 2 * 100° = 200°. \] ### Задача 3: Угол ABC Мы знаем, что угол AOB = 150°. Поскольку углы AOB и ABC совместны, можно записать: \[ \angle ABC = 180° - \angle AOB = 180° - 150° = 30°. \] ### Задача 4: Радиус описанной окружности В прямоугольном треугольнике ABC: AC = 7, угол A = 60°, угол C = 90°. Сначала найдем длину стороны AB, используя теорему синусов: В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности R выражается как: \[ R = \frac{c}{2 \sin A}, \] где c - гипотенуза. Сначала находим гипотенузу: - По теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \] - \[ BC = AC \cdot \tan(60°) = 7 \sqrt{3} \] - \[ AB = \sqrt{7^2 + (7 \sqrt{3})^2} = \sqrt{49 + 147} = \sqrt{196} = 14. \] Теперь можем найти радиус R: \[ R = \frac{14}{2 \cdot \sin(60°)} = \frac{14}{\sqrt{3}}. \] ### Задача 5: Угол BOC в равнобедренном треугольнике Если угол ACB = 110°, то углы ABC и ACB равны: \[ \angle OBC = \frac{180° - 110°}{2} = 35°. \] И тогда углы BOA и BOC можно выразить как: \[ \angle BOC = 180° - 2\angle OBC = 180° - 70° = 110°. \] ### Задача 6: Докажите, что DAO = DSO Прибавим точки касания к сторонам AB и AC равнобедренного треугольника ABC. Мы знаем, что радиусы равны, и так как треугольник равнобедренный, отрезки DA и DS равны. Это доказывает, что: \[ DA = DS \implies DAO = DSO. \] ### Задача 7: Периметр треугольника Пусть отрезки на боковой стороне DA и DS равны 10 и 21. Значит, AB + AC = 10 + 21 + AS. Периметр тогда равен: \[ P = AB + AC + AS = (10 + 21 + (10 + 21)) = 62. \] ### Задача 8: Длина хорды CD Для нахождения длины хорды CD используем формулу: \[ d^2 = r^2 - h^2, \] где h — расстояние от центра до хорды, а d — длина хорды. Для первых хорды AB: - \( d^2 = r^2 - 16^2 \) Хорда CD: - \( CD = 2 \sqrt{r^2 - 12^2} = 2 \cdot \sqrt{(r^2 - 144)}, \) где \( AB = 24 \). Теперь уравняем уравнения и найдем длину CD. Надеюсь, эти шаги помогли вам лучше понять материал! Если есть вопросы или нужно подробнее объяснить какую-то часть, дайте знать!