Пятый и десятый члены геометрической прогрессии равны 0 , 007 и 54,432 соответственно. Найди сумму членов прогрессии, заключённых между ними.
Для решения данной задачи начнем с понимания, что такое геометрическая прогрессия.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его через \( q \)).
Обозначим первый член прогрессии как \( a \). Тогда:
- Пятый член прогрессии \( a_5 = a \cdot q^4 = 0.007 \)
- Десятый член прогрессии \( a_{10} = a \cdot q^9 = 54.432 \)
Теперь у нас есть два уравнения:
- \( a \cdot q^4 = 0.007 \) (1)
- \( a \cdot q^9 = 54.432 \) (2)
Чтобы решить эту систему, сначала выразим \( a \) из первого уравнения:
\[ a = \frac{0.007}{q^4} \]
Подставим это выражение для \( a \) во второе уравнение:
\[ \frac{0.007}{q^4} \cdot q^9 = 54.432 \]
Упростим это уравнение:
\[ 0.007 \cdot q^{9-4} = 54.432 \] \[ 0.007 \cdot q^5 = 54.432 \]
Теперь решим относительно \( q^5 \):
\[ q^5 = \frac{54.432}{0.007} \] \[ q^5 = 7776 \]
Теперь извлечем корень пятой степени из обоих сторон уравнения, чтобы найти \( q \):
\[ q = 7776^{\frac{1}{5}} \]
Рассчитаем \( q \):
\[ q = 6 \]
Теперь, когда мы нашли \( q \), подставим его обратно в уравнение для нахождения \( a \):
\[ a = \frac{0.007}{6^4} \] \[ a = \frac{0.007}{1296} \] \[ a = \frac{7}{1296000} \] \[ a \approx 0.00000543 \]
Теперь, когда мы знаем \( a \) и \( q \), мы можем найти сумму членов прогрессии между пятым и десятым членами, а это члены с индексами 6, 7, 8 и 9.
Сначала найдем эти члены:
- Шестой член: \( a_6 = a \cdot q^5 = a \cdot 7776 \)
- Седьмой член: \( a_7 = a \cdot q^6 = a \cdot 46656 \)
- Восьмой член: \( a_8 = a \cdot q^7 = a \cdot 279936 \)
- Девятый член: \( a_9 = a \cdot q^8 = a \cdot 1679616 \)
Сумма членов между ними (6, 7, 8 и 9):
\[ S = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 \]
Подставим \( a \) и \( q \):
\[ S = a \cdot q^5 + a \cdot q^6 + a \cdot q^7 + a \cdot q^8 \]
\[ S = a (q^5 + q^6 + q^7 + q^8) \] \[ = a (7776 + 46656 + 279936 + 1679616) \]
Теперь суммируем:
\[ 7776 + 46656 = 54432 \] \[ 54432 + 279936 = 334368 \] \[ 334368 + 1679616 = 2013984 \]
Теперь подставим в формулу S:
\[ S = a \cdot 2013984 \]
Подставляем значение \( a \):
\[ S = \frac{7}{1296000} \cdot 2013984 \approx 10.789 \]
Таким образом, сумма членов прогрессии между пятым и десятым членами равна приблизительно 10.789.
