Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним основные понятия и формулы.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, которое называется "знаменателем прогрессии" (обозначим его как ( q )).
Члены геометрической прогрессии можно записать так:
- Первый член: ( a )
- Второй член: ( aq )
- Третий член: ( aq^2 )
- Четвёртый член: ( aq^3 )
- Пятый член: ( aq^4 )
- Шестой член: ( aq^5 )
- Седьмой член: ( aq^6 )
Согласно условиям задачи:
- Четвёртый член прогрессии равен 3: ( aq^3 = 3 ) (1)
- Седьмой член прогрессии равен 81: ( aq^6 = 81 ) (2)
Теперь мы можем выразить ( a ) из уравнения (1) и (2).
Из уравнения (1):
[
a = \frac{3}{q^3}
]
Подставим это значение ( a ) в уравнение (2):
[
\frac{3}{q^3} q^6 = 81
]
Упрощаем левую сторону:
[
\frac{3q^6}{q^3} = 3q^3
]
Следовательно:
[
3q^3 = 81
]
Делим обе стороны на 3:
[
q^3 = 27
]
Теперь найдём ( q ), извлекая кубический корень:
[
q = \sqrt[3]{27} = 3
]
Теперь, зная значение ( q ), подставим его обратно в уравнение (1) для нахождения ( a ):
[
a = \frac{3}{3^3} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}
]
Таким образом, первый член прогрессии ( a ) равен ( \frac{1}{9} ).
Ответ: Первый член геометрической прогрессии равен ( \frac{1}{9} ).
