четвёртый член геометрической прогрессии равен 3,а в седьмой равен 81.найдите первый член прогрессии

Чтобы решить задачу о геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним основные понятия и формулы.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число, которое называется "знаменателем прогрессии" (обозначим его как \( q \)).

Члены геометрической прогрессии можно записать так:

• Первый член: \( a \)
• Второй член: \( aq \)
• Третий член: \( aq^2 \)
• Четвёртый член: \( aq^3 \)
• Пятый член: \( aq^4 \)
• Шестой член: \( aq^5 \)
• Седьмой член: \( aq^6 \)

Согласно условиям задачи:

• Четвёртый член прогрессии равен 3: \( aq^3 = 3 \) (1)
• Седьмой член прогрессии равен 81: \( aq^6 = 81 \) (2)

Теперь мы можем выразить \( a \) из уравнения (1) и (2).

Из уравнения (1): \[ a = \frac{3}{q^3} \]

Подставим это значение \( a \) в уравнение (2): \[ \frac{3}{q^3} q^6 = 81 \] Упрощаем левую сторону: \[ \frac{3q^6}{q^3} = 3q^3 \] Следовательно: \[ 3q^3 = 81 \] Делим обе стороны на 3: \[ q^3 = 27 \] Теперь найдём \( q \), извлекая кубический корень: \[ q = \sqrt[3]{27} = 3 \]

Теперь, зная значение \( q \), подставим его обратно в уравнение (1) для нахождения \( a \): \[ a = \frac{3}{3^3} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \]

Таким образом, первый член прогрессии \( a \) равен \( \frac{1}{9} \).

Ответ: Первый член геометрической прогрессии равен \( \frac{1}{9} \).