Решите систему уравнений: {2x−4y=5(x+y)x2−y2=2.
Для решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} 2x - 4y = 5(x + y)\\ x^2 - y^2 = 2 \end{cases} \]
начнем с первого уравнения.
Шаг 1: Упрощение первого уравнения
Первое уравнение выглядит так:
\[ 2x - 4y = 5(x + y) \]
Раскроем скобки на правой стороне:
\[ 2x - 4y = 5x + 5y \]
Теперь перенесем все, что содержит переменные с одной стороны, а константы - с другой:
\[ 2x - 5x - 4y - 5y = 0 \]
Это приведет к упрощению:
\[ -3x - 9y = 0 \]
Чтобы сделать выражение более удобным, разделим обе стороны на -3:
\[ x + 3y = 0 \]
Отсюда можем выразить \( x \):
\[ x = -3y \]
Шаг 2: Подстановка во второе уравнение
Теперь подставим \( x = -3y \) во второе уравнение \( x^2 - y^2 = 2 \):
\[ (-3y)^2 - y^2 = 2 \]
Решим это уравнение:
\[ 9y^2 - y^2 = 2 \]
Сложим его:
\[ 8y^2 = 2 \]
Теперь разделим обе стороны на 8:
\[ y^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон:
\[ y = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad y = -\frac{1}{2} \]
Шаг 3: Найти значения \( x \)
Теперь, когда мы нашли \( y \), можем использовать его, чтобы найти \( x \):
Если \( y = \frac{1}{2} \): \[ x = -3\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} \]
Если \( y = -\frac{1}{2} \): \[ x = -3\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} \]
Шаг 4: Ответ
Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений:
- \( (x, y) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \)
- \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \)
Эти координаты являются решениями данной системы уравнений.
