Решите систему уравнений: {2x−4y=5(x+y)x2−y2=2.

Для решения системы уравнений: \[ \begin{cases} 2x - 4y = 5(x + y)\\ x^2 - y^2 = 2 \end{cases} \] начнем с первого уравнения. ### Шаг 1: Упрощение первого уравнения Первое уравнение выглядит так: \[ 2x - 4y = 5(x + y) \] Раскроем скобки на правой стороне: \[ 2x - 4y = 5x + 5y \] Теперь перенесем все, что содержит переменные с одной стороны, а константы - с другой: \[ 2x - 5x - 4y - 5y = 0 \] Это приведет к упрощению: \[ -3x - 9y = 0 \] Чтобы сделать выражение более удобным, разделим обе стороны на -3: \[ x + 3y = 0 \] Отсюда можем выразить \( x \): \[ x = -3y \] ### Шаг 2: Подстановка во второе уравнение Теперь подставим \( x = -3y \) во второе уравнение \( x^2 - y^2 = 2 \): \[ (-3y)^2 - y^2 = 2 \] Решим это уравнение: \[ 9y^2 - y^2 = 2 \] Сложим его: \[ 8y^2 = 2 \] Теперь разделим обе стороны на 8: \[ y^2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон: \[ y = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad y = -\frac{1}{2} \] ### Шаг 3: Найти значения \( x \) Теперь, когда мы нашли \( y \), можем использовать его, чтобы найти \( x \): 1. Если \( y = \frac{1}{2} \): \[ x = -3\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} \] 2. Если \( y = -\frac{1}{2} \): \[ x = -3\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} \] ### Шаг 4: Ответ Таким образом, у нас есть два решения для системы уравнений: 1. \( (x, y) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \) 2. \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \) Эти координаты являются решениями данной системы уравнений.