Предположим, случайная величина Y имеет математическое ожидание, равное 10. Найдите математическое ожидание величины 5Y + 7.

Чтобы найти математическое ожидание величины \(5Y + 7\), воспользуемся свойством математического ожидания.

Свойства математического ожидания:

1. Если \(X\) — случайная величина, и \(a\) — это константа, то математическое ожидание \(E[aX] = aE[X]\).
2. Если \(b\) — это константа, то \(E[X + b] = E[X] + b\).

Теперь применим эти свойства к вашей задаче:

1. У нас есть случайная величина \(Y\) с математическим ожиданием \(E[Y] = 10\).
2. Мы хотим найти \(E[5Y + 7]\).

Рассмотрим это выражение по частям.

Шаг 1: Найдем \(E[5Y]\)

По первому свойству: \[ E[5Y] = 5 \cdot E[Y] = 5 \cdot 10 = 50. \]

Шаг 2: Теперь найдем \(E[7]\)

Так как 7 — это константа, то: \[ E[7] = 7. \]

Шаг 3: Теперь сложим результаты

По второму свойству: \[ E[5Y + 7] = E[5Y] + E[7] = 50 + 7 = 57. \]

Таким образом, математическое ожидание величины \(5Y + 7\) равно 57.

Это решение иллюстрирует, как использовать свойства математического ожидания для нахождения нового значения ожидания, когда случайная величина подвергается линейным преобразованиям.