Для того чтобы найти математическое ожидание количества очков, которое ученик получит или потеряет за один бросок шестигранного игрального кубика, проанализируем ситуацию более подробно.
Шаг 1: Определение возможных исходов
Шестигранный кубик имеет шесть граней, и возможные исходы при броске следующие:
Шаг 2: Вычисление очков для каждого исхода
В зависимости от выпавшего числа начисляются или списываются очки:
- Если выпадает 1 (нечетное) — теряет 1 очко: ( -1 )
- Если выпадает 2 (четное) — получает 2 очка: ( +2 )
- Если выпадает 3 (нечетное) — теряет 3 очка: ( -3 )
- Если выпадает 4 (четное) — получает 4 очка: ( +4 )
- Если выпадает 5 (нечетное) — теряет 5 очков: ( -5 )
- Если выпадает 6 (четное) — получает 6 очков: ( +6 )
Шаг 3: Подсчет вероятностей
Каждое число на кубике выпадает с равной вероятностью ( \frac{1}{6} ).
Шаг 4: Рассмотрение математического ожидания
Математическое ожидание ( E(X) ) можно вычислить по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i))
]
где ( x_i ) — это значения, которые могут выпасть, а ( P(x_i) ) — вероятность этих значений.
Подставим значения в формулу:
[
E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}
]
Шаг 5: Упрощение
Теперь посчитаем:
[
E(X) = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{5}{6} + \frac{6}{6}
]
Сложим дроби:
[
E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6}
]
Теперь подсчитаем числитель:
[
-1 + 2 = 1,
]
[
1 - 3 = -2,
]
[
-2 + 4 = 2,
]
[
2 - 5 = -3,
]
[
-3 + 6 = 3
]
Итак, числитель равен 3. Получаем:
[
E(X) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Ответ
Математическое ожидание количества очков, которое ученик получит или потеряет за один бросок кубика, составляет ( \frac{1}{2} ). Это значит, что в среднем ученик получит 0.5 очка за каждый бросок кубика.
