Ученик играет в игру, где он бросает обычный шестигранный игральный кубик. Если выпадает четное число, он получает количество очков, равное выпавшему числу. Если выпадает нечетное…

Для того чтобы найти математическое ожидание количества очков, которое ученик получит или потеряет за один бросок шестигранного игрального кубика, проанализируем ситуацию более подробно.

Шаг 1: Определение возможных исходов

Шестигранный кубик имеет шесть граней, и возможные исходы при броске следующие:

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Шаг 2: Вычисление очков для каждого исхода

В зависимости от выпавшего числа начисляются или списываются очки:

• Если выпадает 1 (нечетное) — теряет 1 очко: \( -1 \)
• Если выпадает 2 (четное) — получает 2 очка: \( +2 \)
• Если выпадает 3 (нечетное) — теряет 3 очка: \( -3 \)
• Если выпадает 4 (четное) — получает 4 очка: \( +4 \)
• Если выпадает 5 (нечетное) — теряет 5 очков: \( -5 \)
• Если выпадает 6 (четное) — получает 6 очков: \( +6 \)

Шаг 3: Подсчет вероятностей

Каждое число на кубике выпадает с равной вероятностью \( \frac{1}{6} \).

Шаг 4: Рассмотрение математического ожидания

Математическое ожидание \( E(X) \) можно вычислить по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i)) \] где \( x_i \) — это значения, которые могут выпасть, а \( P(x_i) \) — вероятность этих значений.

Подставим значения в формулу:

\[ E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \]

Шаг 5: Упрощение

Теперь посчитаем: \[ E(X) = -\frac{1}{6} + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{5}{6} + \frac{6}{6} \]

Сложим дроби: \[ E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6} \] Теперь подсчитаем числитель: \[ -1 + 2 = 1, \] \[ 1 - 3 = -2, \] \[ -2 + 4 = 2, \] \[ 2 - 5 = -3, \] \[ -3 + 6 = 3 \]

Итак, числитель равен 3. Получаем: \[ E(X) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Ответ

Математическое ожидание количества очков, которое ученик получит или потеряет за один бросок кубика, составляет \( \frac{1}{2} \). Это значит, что в среднем ученик получит 0.5 очка за каждый бросок кубика.