В лотерее из 50000 билетов только 900 выигрышные. Вы купили два, один из которых оказался выигрышным. Логически верно ли ожидать такую же частоту победных билетов при покупке 500…

Чтобы понять, правильно ли ожидать такую же частоту выигрышных билетов при покупке 500 билетов, давайте проанализируем исходные данные.

Исходные данные:

1. Общее количество билетов: 50,000
2. Количество выигрышных билетов: 900

Определение вероятности выигрыша:

В первую очередь, найдем вероятность выигрыша одного билета: \[ P(\text{выигрыш}) = \frac{\text{количество выигрышных билетов}}{\text{общее количество билетов}} = \frac{900}{50000} = \frac{9}{500} \approx 0.018 \] Это значит, что вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным, составляет примерно 1.8%.

Анализ покупки 2 билетов:

Вы купили 2 билета, и один из них оказался выигрышным. Это соответствует вышеуказанной вероятности. Давайте обозначим вероятность выигрыша хотя бы одного из двух билетов: \[ P(\text{выигрывать хотя бы один из двух}) = 1 - P(\text{не выиграть ни один}) \] Вероятность не выиграть один билет: \[ P(\text{не выиграть}) = 1 - P(\text{выигрыш}) = 1 - \frac{9}{500} = \frac{491}{500} \] Таким образом, вероятность не выиграть ни один из двух билетов: \[ P(\text{не выиграть ни один}) = P(\text{не выиграть}) \times P(\text{не выиграть}) = \left(\frac{491}{500}\right)^2 \approx 0.976 \] Следовательно, вероятность выиграть хотя бы один билет: \[ P(\text{выиграть хотя бы один}) = 1 - P(\text{не выиграть ни один}) \approx 1 - 0.976 = 0.024 \] Таким образом, вероятность выиграть хотя бы один билет из двух составляет 2.4%.

Анализ покупки 500 билетов:

Теперь давайте перейдем к анализу ситуации, когда вы купите 500 билетов. Вероятность выигрыша для 500 билетов можно вычислить так же, как мы делали для 2 билетов: \[ P(\text{выиграть хотя бы один из 500}) = 1 - P(\text{не выиграть ни один}) \] Вероятность не выиграть 500 билетов: \[ P(\text{не выиграть})^{500} = \left(\frac{491}{500}\right)^{500} \] Используя приближенное значение: \[ \left(1 - \frac{9}{500}\right)^{500} \approx e^{-9} \, (\text{по формуле Бернулли}) \] где \( e \) — основание натурального логарифма, приближенно равное 2.718. Следовательно: \[ P(\text{выиграть хотя бы один из 500}) \approx 1 - e^{-9} \approx 1 - 0.000123 = 0.999877 \] Это говорит о том, что вероятность выиграть хотя бы один билет из 500 при той же частоте выигрыша составляет почти 100%.

Вывод:

Вероятность выиграть хотя бы один билет при покупке 500 билетов на самом деле значительно возрастает по сравнению с вероятностью выиграть один билет из двух: 2.4% против почти 100%.

Так что, логически, при увеличении количества билетов, купленных вами, вероятность выиграть, в соответствии с известной частотой выигрыша в лотерее, тоже увеличивается. Таким образом, ожидание такой же частоты победных билетов при покупке 500 билетов вполне оправдано.