Для решения задачи нужно использовать формулу, связывающую длину волны, ёмкость и индуктивность контура. Начнём с того, что резонансная частота (( f )) колебательного контура определяется по формуле:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
где:
- ( L ) — индуктивность,
- ( C ) — ёмкость.
Кроме того, длина волны (( \lambda )) связана с частотой и скоростью света (( c )) по формуле:
[
\lambda = \frac{c}{f}
]
где:
- ( c \approx 3 \times 10^8 , \text{м/с} ) (скорость света в вакууме).
Шаг 1: Задание параметров
В данной задаче:
- Индуктивность ( L = 4 , \mu H = 4 \times 10^{-6} , H ),
- Ёмкость изменяется от ( C_{\text{min}} = 40 , pF = 40 \times 10^{-12} , F ) до ( C_{\text{max}} = 600 , pF = 600 \times 10^{-12} , F ).
Шаг 2: Вычисление частот
- Для минимальной ёмкости (( C_{\text{min}} )):
[
f_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-6} \times 40 \times 10^{-12}}}
]
Вычислим дискриминатор:
[
f_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 40 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{160 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 4 \times 10^{-9}} \approx \frac{1}{8 \pi \times 10^{-9}}
]
После вычислений получите частоту.
- Для максимальной ёмкости (( C_{\text{max}} )):
[
f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-6} \times 600 \times 10^{-12}}}
]
Аналогичным образом:
[
f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2400 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 4.89898 \times 10^{-9}} \approx \frac{1}{8 \pi \times 10^{-9}}
]
Шаг 3: Перевод частоты в длину волны
Теперь, используя полученные частоты, найдём длину волны:
Для ( f_{\text{min}} ):
[
\lambda_{\text{max}} = \frac{c}{f_{\text{min}}}
]
Для ( f_{\text{max}} ):
[
\lambda_{\text{min}} = \frac{c}{f_{\text{max}}}
]
Шаг 4: Итог
После подстановки значений частот в формулы для длины волны, вы получите диапазон длин волн, в котором может работать приемник.
Заключение
Как итог, вы сможете определить диапазон длин волн, учитывая минимальные и максимальные значения ёмкости. Это решение поможет вам более глубоко понять, как изменяются параметры колебательного контура в зависимости от ёмкости и индуктивности.
