В каком диапазоне длин волн может работать приемник, если емкость конденсатора в его колебательном контуре плавно изменяется от 40 до 600 пФ, а индуктивность катушки постоянна и…
В каком диапазоне длин волн может работать приемник, если емкость конденсатора в его колебательном контуре плавно изменяется от 40 до 600 пФ, а индуктивность катушки постоянна и равна 4 мкГн?
Для решения задачи нужно использовать формулу, связывающую длину волны, ёмкость и индуктивность контура. Начнём с того, что резонансная частота (\( f \)) колебательного контура определяется по формуле:
\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
где:
- \( L \) — индуктивность,
- \( C \) — ёмкость.
Кроме того, длина волны (\( \lambda \)) связана с частотой и скоростью света (\( c \)) по формуле:
\[ \lambda = \frac{c}{f} \]
где:
- \( c \approx 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \) (скорость света в вакууме).
Шаг 1: Задание параметров
В данной задаче:
- Индуктивность \( L = 4 \, \mu H = 4 \times 10^{-6} \, H \),
- Ёмкость изменяется от \( C_{\text{min}} = 40 \, pF = 40 \times 10^{-12} \, F \) до \( C_{\text{max}} = 600 \, pF = 600 \times 10^{-12} \, F \).
Шаг 2: Вычисление частот
- Для минимальной ёмкости (\( C_{\text{min}} \)): \[ f_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-6} \times 40 \times 10^{-12}}} \]
Вычислим дискриминатор:
\[ f_{\text{min}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 40 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{160 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 4 \times 10^{-9}} \approx \frac{1}{8 \pi \times 10^{-9}} \]
После вычислений получите частоту.
- Для максимальной ёмкости (\( C_{\text{max}} \)): \[ f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-6} \times 600 \times 10^{-12}}} \]
Аналогичным образом:
\[ f_{\text{max}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2400 \times 10^{-18}}} = \frac{1}{2\pi \cdot 4.89898 \times 10^{-9}} \approx \frac{1}{8 \pi \times 10^{-9}} \]
Шаг 3: Перевод частоты в длину волны
Теперь, используя полученные частоты, найдём длину волны:
Для \( f_{\text{min}} \): \[ \lambda_{\text{max}} = \frac{c}{f_{\text{min}}} \]
Для \( f_{\text{max}} \): \[ \lambda_{\text{min}} = \frac{c}{f_{\text{max}}} \]
Шаг 4: Итог
После подстановки значений частот в формулы для длины волны, вы получите диапазон длин волн, в котором может работать приемник.
Заключение
Как итог, вы сможете определить диапазон длин волн, учитывая минимальные и максимальные значения ёмкости. Это решение поможет вам более глубоко понять, как изменяются параметры колебательного контура в зависимости от ёмкости и индуктивности.
