Найти все первообразные функции f(x)=х⁵/5

Чтобы найти все первообразные функции для данной функции \( f(x) = \frac{x^5}{5} \), мы будем использовать определение первообразной функции. 1. **Определение первообразной функции:** Первообразной функции \( F(x) \) для функции \( f(x) \) называется функция такая, что \( F'(x) = f(x) \). Соответственно, мы ищем функцию, производная которой равна \( \frac{x^5}{5} \). 2. **Применение общего правила интегрирования:** Для функции вида \( x^n \) (где \( n \) - любое число), интеграл (первообразная) вычисляется по формуле: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] где \( C \) - произвольная константа интегрирования. 3. **Применим правило для нашей функции:** В данном случае \( n = 5 \). Подставим это значение в формулу для интеграла: \[ \int \frac{x^5}{5} \, dx = \frac{1}{5} \int x^5 \, dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^{6}}{6} + C \] Упрощаем это выражение: \[ = \frac{x^{6}}{30} + C \] 4. **Итоговый ответ:** Таким образом, первообразные функции \( F(x) \) для функции \( f(x) = \frac{x^5}{5} \) имеют вид: \[ F(x) = \frac{x^{6}}{30} + C \] где \( C \) - произвольная постоянная. Это означает, что вы можете добавлять любую константу к этому выражению, и его производная будет по-прежнему равна \( \frac{x^5}{5} \). Если вас интересуют дополнительные аспекты данной задачи или другие вопросы по теме, не стесняйтесь спрашивать!