Чтобы решить эту задачу, давайте введем обозначения для цифр двузначного числа. Обозначим первую цифру как ( x ), а вторую (которая на 1 меньше первой) как ( y = x - 1 ). Тогда мы можем записать двузначное число ( N ) в виде:
[
N = 10x + y = 10x + (x - 1) = 11x - 1
]
Теперь, переставим цифры и получим новое число:
[
M = 10y + x = 10(x - 1) + x = 10x - 10 + x = 11x - 10
]
Следовательно, сумма квадратов первоначального и полученного чисел равна 585:
[
N^2 + M^2 = 585
]
Подставляем выражения для ( N ) и ( M ):
[
(11x - 1)^2 + (11x - 10)^2 = 585
]
Рассчитаем каждое из квадратов:
[
(11x - 1)^2 = 121x^2 - 22x + 1
]
[
(11x - 10)^2 = 121x^2 - 220x + 100
]
Теперь складываем эти два выражения:
[
(121x^2 - 22x + 1) + (121x^2 - 220x + 100) = 585
]
Объединим подобные члены:
[
242x^2 - 242x + 101 = 585
]
Выразим уравнение:
[
242x^2 - 242x + 101 - 585 = 0
]
Упрощаем:
[
242x^2 - 242x - 484 = 0
]
Теперь делим всё на 242:
[
x^2 - x - 2 = 0
]
Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2}
]
Получаем два решения для ( x ):
[
x_1 = \frac{4}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 , (\text{не подходит})
]
Таким образом, ( x = 2 ), и тогда ( y = 2 - 1 = 1 ). Это означает, что задуманное двузначное число:
[
N = 10x + y = 10 \cdot 2 + 1 = 21
]
Теперь проверим условие:
[
M = 10y + x = 10 \cdot 1 + 2 = 12
]
Теперь вычисляем сумму квадратов:
[
21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585
]
Условие выполнено. Следовательно, задуманное число — это:
[
\boxed{21}
]
