Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно,…

Чтобы решить эту задачу, давайте введем обозначения для цифр двузначного числа. Обозначим первую цифру как \( x \), а вторую (которая на 1 меньше первой) как \( y = x - 1 \). Тогда мы можем записать двузначное число \( N \) в виде:

\[ N = 10x + y = 10x + (x - 1) = 11x - 1 \]

Теперь, переставим цифры и получим новое число:

\[ M = 10y + x = 10(x - 1) + x = 10x - 10 + x = 11x - 10 \]

Следовательно, сумма квадратов первоначального и полученного чисел равна 585:

\[ N^2 + M^2 = 585 \]

Подставляем выражения для \( N \) и \( M \):

\[ (11x - 1)^2 + (11x - 10)^2 = 585 \]

Рассчитаем каждое из квадратов:

\[ (11x - 1)^2 = 121x^2 - 22x + 1 \] \[ (11x - 10)^2 = 121x^2 - 220x + 100 \]

Теперь складываем эти два выражения:

\[ (121x^2 - 22x + 1) + (121x^2 - 220x + 100) = 585 \]

Объединим подобные члены:

\[ 242x^2 - 242x + 101 = 585 \]

Выразим уравнение:

\[ 242x^2 - 242x + 101 - 585 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 242x^2 - 242x - 484 = 0 \]

Теперь делим всё на 242:

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

Корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Получаем два решения для \( x \):

\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \, (\text{не подходит}) \]

Таким образом, \( x = 2 \), и тогда \( y = 2 - 1 = 1 \). Это означает, что задуманное двузначное число:

\[ N = 10x + y = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \]

Теперь проверим условие:

\[ M = 10y + x = 10 \cdot 1 + 2 = 12 \]

Теперь вычисляем сумму квадратов:

\[ 21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585 \]

Условие выполнено. Следовательно, задуманное число — это:

\[ \boxed{21} \]