Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а длина его боковой стороны относится к длине основания, как 6,5 : 5. Чему равен радиус окружности, вписанной в треугольник?

Для решения задачи о нахождении радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника, начнем с того, что нам известен периметр (P) и соотношение сторон.

Шаг 1: Определение длины сторон

Обозначим:

• длину боковой стороны треугольника как \( a \),
• длину основания как \( b \).

Из условия известно, что \( a \) относится к \( b \) как \( 6,5 : 5 \). Это можно записать в виде пропорции:

\[ \frac{a}{b} = \frac{6.5}{5}. \]

Для удобства, можно представить это в виде \( a = k \cdot 6.5 \) и \( b = k \cdot 5 \), где \( k \) — общий множитель.

Шаг 2: Выразим периметр

Периметр равнобедренного треугольника выражается как сумма всех его сторон:

\[ P = a + a + b = 2a + b. \]

Так как периметр равен 36 см, подставим известные значения:

\[ 36 = 2(6.5k) + 5k. \]

Упрощаем это выражение:

\[ 36 = 13k + 5k, \] \[ 36 = 18k. \]

Шаг 3: Найдем \( k \)

Разделим обе части на 18:

\[ k = \frac{36}{18} = 2. \]

Шаг 4: Вычислим стороны треугольника

Теперь подставим значение \( k \) для нахождения \( a \) и \( b \):

\[ a = 6.5k = 6.5(2) = 13 \text{ см}, \] \[ b = 5k = 5(2) = 10 \text{ см}. \]

Шаг 5: Найдем радиус вписанной окружности (r)

Радиус вписанной окружности (r) для треугольника можно вычислить по формуле:

\[ r = \frac{S}{p}, \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( p \) — полупериметр.

Полупериметр \( p \) равен половине периметра:

\[ p = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}. \]

Шаг 6: Найдем площадь треугольника

Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{b \cdot h}{2}, \]

где \( h \) — высота, проведенная к основанию \( b \).

Нахождение высоты

Чтобы найти высоту \( h \), воспользуемся теоремой Пифагора. Высота делит основание на две равные части, каждая из которых равна \( \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см. Тогда имеет место следующее равенство:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}. \]

Теперь можно найти площадь:

\[ S = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \text{ см}^2. \]

Шаг 7: Найдем радиус вписанной окружности

Теперь подставим значения в формулу для радиуса:

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \text{ см} \approx 3.33 \text{ см}. \]

Ответ

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен \(\frac{10}{3} \text{ см} \) или примерно \( 3.33 \text{ см} \).