Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см, а длина его боковой стороны относится к длине основания, как 6,5 : 5. Чему равен радиус окружности, вписанной в треугольник?

Для решения задачи о нахождении радиуса вписанной окружности равнобедренного треугольника, начнем с того, что нам известен периметр (P) и соотношение сторон. ### Шаг 1: Определение длины сторон Обозначим: - длину боковой стороны треугольника как \( a \), - длину основания как \( b \). Из условия известно, что \( a \) относится к \( b \) как \( 6,5 : 5 \). Это можно записать в виде пропорции: \[ \frac{a}{b} = \frac{6.5}{5}. \] Для удобства, можно представить это в виде \( a = k \cdot 6.5 \) и \( b = k \cdot 5 \), где \( k \) — общий множитель. ### Шаг 2: Выразим периметр Периметр равнобедренного треугольника выражается как сумма всех его сторон: \[ P = a + a + b = 2a + b. \] Так как периметр равен 36 см, подставим известные значения: \[ 36 = 2(6.5k) + 5k. \] Упрощаем это выражение: \[ 36 = 13k + 5k, \] \[ 36 = 18k. \] ### Шаг 3: Найдем \( k \) Разделим обе части на 18: \[ k = \frac{36}{18} = 2. \] ### Шаг 4: Вычислим стороны треугольника Теперь подставим значение \( k \) для нахождения \( a \) и \( b \): \[ a = 6.5k = 6.5(2) = 13 \text{ см}, \] \[ b = 5k = 5(2) = 10 \text{ см}. \] ### Шаг 5: Найдем радиус вписанной окружности (r) Радиус вписанной окружности (r) для треугольника можно вычислить по формуле: \[ r = \frac{S}{p}, \] где: - \( S \) — площадь треугольника, - \( p \) — полупериметр. Полупериметр \( p \) равен половине периметра: \[ p = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}. \] ### Шаг 6: Найдем площадь треугольника Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{b \cdot h}{2}, \] где \( h \) — высота, проведенная к основанию \( b \). #### Нахождение высоты Чтобы найти высоту \( h \), воспользуемся теоремой Пифагора. Высота делит основание на две равные части, каждая из которых равна \( \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см. Тогда имеет место следующее равенство: \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}. \] #### Теперь можно найти площадь: \[ S = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \text{ см}^2. \] ### Шаг 7: Найдем радиус вписанной окружности Теперь подставим значения в формулу для радиуса: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \text{ см} \approx 3.33 \text{ см}. \] ### Ответ Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен \(\frac{10}{3} \text{ см} \) или примерно \( 3.33 \text{ см} \).