Первый сплав содержит 35 % 35% меди, а второй — 55 % 55% меди. Из этих двух сплавов и 40 40 кг третьего сплава, не содержащего меди, получили сплав, в котором оказалось 30 % 30%…
Первый сплав содержит 35 % 35% меди, а второй — 55 % 55% меди. Из этих двух сплавов и 40 40 кг третьего сплава, не содержащего меди, получили сплав, в котором оказалось 30 % 30% меди. Известно, что если бы к первым двум сплавам вместо третьего добавили 40 40 -килограммовый сплав, содержащий 35 % 35% меди, то в итоговом сплаве было бы 40 % 40% меди. Найдите массу второго сплава.
Для решения данной задачи, давайте пошагово рассмотрим, как мы можем определить массу второго сплава.
Предположим, что масса первого сплава равна \(x\) кг, а масса второго сплава равна \(y\) кг.
Шаг 1: Составим уравнение для первого случая
Сначала рассчитаем количество меди в первом случае, когда к сплавам добавляется 40 кг сплава, не содержащего меди.
Количество меди в первом сплаве: \[ \text{медь}_1 = 0.35x \]
Количество меди во втором сплаве: \[ \text{медь}_2 = 0.55y \]
Общая масса сплава: \[ \text{общая масса} = x + y + 40 \]
Общее количество меди в новом сплаве: \[ \text{общее количество меди} = 0.35x + 0.55y \]
Используем информацию об итоговом сплаве, который содержит 30% меди: \[ 0.30(x + y + 40) = 0.35x + 0.55y \] Упростим это уравнение: \[ 0.30x + 0.30y + 12 = 0.35x + 0.55y \]
Переносим все на левую сторону: \[ 12 = 0.35x - 0.30x + 0.55y - 0.30y \] \[ 12 = 0.05x + 0.25y \] Умножим на 100 для удобства: \[ 1200 = 5x + 25y \quad (1) \]
Шаг 2: Составим уравнение для второго случая
Теперь рассмотрим второй случай, когда к сплавам добавляется 40 кг сплава с 35% меди.
Количество меди в 40 кг сплава: \[ 0.35 \times 40 = 14 \text{ кг меди} \]
Общее количество меди в новом сплаве: \[ \text{общее количество меди} = 0.35x + 0.55y + 14 \]
Используем информацию об итоговом сплаве, который теперь содержит 40% меди: \[ 0.40(x + y + 40) = 0.35x + 0.55y + 14 \] Упростим это уравнение: \[ 0.40x + 0.40y + 16 = 0.35x + 0.55y + 14 \]
Переносим все на левую сторону: \[ 0.40x + 0.40y + 16 - 14 = 0.35x + 0.55y \] \[ 2 = 0.35x - 0.40x + 0.55y - 0.40y \] \[ 2 = -0.05x + 0.15y \] Умножим на 100: \[ 200 = -5x + 15y \quad (2) \]
Шаг 3: Решаем систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\[ \begin{cases} 5x + 25y = 1200 \quad (1) \\ -5x + 15y = 200 \quad (2) \end{cases} \]
Сложим оба уравнения: \[ 5x + 25y - 5x + 15y = 1200 + 200 \] \[ 40y = 1400 \] \[ y = 35 \]
Теперь подставим значение \(y\) во любое из уравнений, например, в уравнение (1): \[ 5x + 25(35) = 1200 \] \[ 5x + 875 = 1200 \] \[ 5x = 1200 - 875 \] \[ 5x = 325 \] \[ x = 65 \]
Вывод
Таким образом, масса второго сплава составляет \(y = 35\) кг.
