Чтобы решить задачу о количестве вершин в полном графе, давайте вспомним формулу, которая связывает количество рёбер (E), количество вершин (V) и количество рёбер в полном графе.
В полном графе с V вершинами количество рёбер можно найти по формуле:
[
E = \frac{V(V - 1)}{2}
]
где (E) — количество рёбер, а (V) — количество вершин.
В данной задаче нам известно, что количество рёбер (E = 66). Нам нужно найти количество вершин (V).
Подставляем известные значения в формулу:
[
66 = \frac{V(V - 1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
132 = V(V - 1)
]
Раскроем скобки:
[
132 = V^2 - V
]
Теперь приводим уравнение к стандартному виду:
[
V^2 - V - 132 = 0
]
Теперь мы решим данное квадратное уравнение с помощью формулы решения квадратного уравнения:
[
V = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -1), (c = -132).
Сначала вычислим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132)
]
[
D = 1 + 528
]
[
D = 529
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
V = \frac{-(-1) \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1}
]
[
V = \frac{1 \pm 23}{2}
]
Это дает два возможных значения для (V):
- (V = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12)
- (V = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11) (это решение не подходит, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Итак, мы имеем только одно подходящее значение:
[
V = 12
]
Таким образом, в полном графе с 66 рёбрами содержится 12 вершин.
