y=8/3x-6x²

Давайте разберем функцию, которую вы привели: \( y = \frac{8}{3}x - 6x^2 \).

Шаг 1: Идентификация типа функции

Это квадратная функция, так как наибольшая степень переменной \( x \) равна 2. Общая форма квадратной функции — это \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = -6 \) (коэффициент при \( x^2 \))
• \( b = \frac{8}{3} \) (коэффициент при \( x \))
• \( c = 0 \) (свободный член)

Шаг 2: Определение графика функции

Квадратная функция имеет параболическую форму. Парабола может открываться вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента \( a \):

• Если \( a > 0 \), парабола открывается вверх.
• Если \( a < 0 \), парабола открывается вниз.

В нашем случае \( a = -6 \), следовательно, парабола открывается вниз.

Шаг 3: Найти вершину параболы

Вершина параболы или её максимум/минимум может найтись по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения \( b \) и \( a \): \[ x = -\frac{\frac{8}{3}}{2 \cdot (-6)} = -\frac{\frac{8}{3}}{-12} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \]

Теперь найдем соответствующее значение \( y \), подставив \( x = \frac{2}{9} \) в исходное уравнение: \[ y = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{9} - 6 \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^2 \] Расчет:

1. Первый член: \[ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{16}{27} \]
2. Второй член: \[ 6 \cdot \left(\frac{2}{9}\right)^2 = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} \quad (\text{умножаем и сокращаем}) \] Теперь подставим результаты в уравнение: \[ y = \frac{16}{27} - \frac{8}{27} = \frac{8}{27} \]

Таким образом, координаты вершины параболы: \(\left(\frac{2}{9}, \frac{8}{27}\right)\).

Шаг 4: Нахождение корней функции

Чтобы найти корни, приравняем \( y \) к нулю: \[ 0 = \frac{8}{3}x - 6x^2 \] Перепишем уравнение: \[ 6x^2 - \frac{8}{3}x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x\left(6x - \frac{8}{3}\right) = 0 \] Теперь решим два уравнения:

1. \( x = 0 \)
2. \( 6x - \frac{8}{3} = 0 \): \[ 6x = \frac{8}{3} \implies x = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Следовательно, корни функции:

• \( x_1 = 0 \)
• \( x_2 = \frac{4}{9} \)

Шаг 5: Итог

1. Вершина параболы: \(\left(\frac{2}{9}, \frac{8}{27}\right)\)
2. Корни функции: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \frac{4}{9} \)

Теперь у вас есть полное понимание функции \( y = \frac{8}{3}x - 6x^2 \), её графика и основных характеристик! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить — пишите!