Найдите квадрат стороны правильного треугольника ABC, если квадрат длины вектора AB-BC равен 45
Дано: \( \text{AB} = \text{BC} = \text{CA} = a \). Это равносторонний треугольник. Необходимо найти \( a^2 \).
Дан также квадрат длины вектора разности: \( |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = 45 \).
Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) можно выразить через координаты или через модули и угол между ними. Возьмём модуль:
Поскольку \(\triangle ABC\) равносторонний, угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен \(120^\circ\).
Используем формулу для разности векторов:
\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(\theta)} \]
где \(\theta = 120^\circ\).
- Подставляем \( |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = a \) и \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\):
\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}a \]
- Значит, квадрат этой длины:
\[ (|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|)^2 = ( \sqrt{3}a )^2 = 3a^2 \]
Сравниваем с данным: \(3a^2 = 45\).
Решаем уравнение:
\[ a^2 = \frac{45}{3} = 15 \]
Ответ: \( a^2 = 15 \).
