Найдите квадрат стороны правильного треугольника ABC, если квадрат длины вектора AB-BC равен 45

Дано: \( \text{AB} = \text{BC} = \text{CA} = a \). Это равносторонний треугольник. Необходимо найти \( a^2 \). Дан также квадрат длины вектора разности: \( |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|^2 = 45 \). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) можно выразить через координаты или через модули и угол между ними. Возьмём модуль: 1. Поскольку \(\triangle ABC\) равносторонний, угол между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) равен \(120^\circ\). 2. Используем формулу для разности векторов: \[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 - 2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos(\theta)} \] где \(\theta = 120^\circ\). 3. Подставляем \( |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = a \) и \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\): \[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}| = \sqrt{a^2 + a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}a \] 4. Значит, квадрат этой длины: \[ (|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}|)^2 = ( \sqrt{3}a )^2 = 3a^2 \] 5. Сравниваем с данным: \(3a^2 = 45\). 6. Решаем уравнение: \[ a^2 = \frac{45}{3} = 15 \] Ответ: \( a^2 = 15 \).