3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 72. Найдите периметр квадрата, вписанного в эту окружность.

Для решения данной задачи начнем с анализа geometrical figures involved (правильного треугольника и квадрата), и их взаимосвязи с окружностью.

Шаг 1: Найдем радиус окружности, в которой находится правильный треугольник

Периметр правильного треугольника (треугольник, у которого все стороны равны) равен 72. Обозначим длину одной стороны треугольника как \( a \). Поскольку в правильном треугольнике три стороны равны, то:

\[ P = 3a = 72 \implies a = \frac{72}{3} = 24 \]

Теперь найдем радиус \( R \) окружности, в которую вписан этот треугольник. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, можно вычислить по формуле:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Подставим найденное значение \( a \):

\[ R = \frac{24}{\sqrt{3}} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \]

Шаг 2: Найдем периметр квадрата, вписанного в эту же окружность

Теперь найдем периметр квадрата, который также вписан в данную окружность. Вписанный квадрат будет касаться окружности на своих четырех сторонах. Радиус окружности \( R \) будет равен половине длины диагонали квадрата.

Обозначим длину стороны квадрата как \( s \). Для квадратов действуют следующие соотношения:

\[ R = \frac{s\sqrt{2}}{2} \]

Можем выразить сторону квадрата:

\[ s = R \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \]

Подставим найденный радиус \( R = 8\sqrt{3} \):

\[ s = 8\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{6} \]

Шаг 3: Рассчитаем периметр квадрата

Периметр квадрата \( P_k \) можно найти по формуле:

\[ P_k = 4s \]

Теперь подставим значение стороны квадрата:

\[ P_k = 4(8\sqrt{6}) = 32\sqrt{6} \]

Ответ

Периметр квадрата, вписанного в окружность, равную 32√6.

Таким образом, мы последовательно установили взаимосвязь между периметром правильного треугольника, радиусом окружности и периметром квадрата, вписанного в эту окружность.