Построй график функции 𝑦 = − 3 + 𝑥 − 4 4 𝑥 − 𝑥 2 y=−3+ 4x−x 2 x−4 и определи наименьшее значение 𝑚 m , при котором прямая 𝑦 = 𝑚 y=m не имеет с графиком общих точек.

Чтобы построить график функции и найти наименьшее значение \( m \), при котором прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком функции, следуем следующим шагам.

1. Анализ функции

Имеем функцию:

\[ y = -3 + \frac{4x - x^2}{x - 4} \]

Это дробно-рациональная функция. Для начала упростим её.

2. Упрощение функции

Разделим числитель:

\[ y = -3 + \frac{4x - x^2}{x - 4} = -3 + \frac{-x^2 + 4x}{x - 4} \]

Можем разделить \(-x^2 + 4x\) на \(x - 4\) с помощью деления многочленов.

1. Разделим \( -x^2 \) на \( x \), получим \(-x\).
2. Умножим \(-x\) на \(x - 4\), получаем \(-x^2 + 4x\).
3. Вычтем, останется \(0\).

В итоге у нас осталась только часть \(y = -3\) от дроби. Значит, можно записать:

\[ y = -3 + \text{что-то малое от } \frac{0}{x - 4} \]

Кроме того, учтем, что дробь не определена для \( x = 4 \).

3. Наименьшее значение функции

Чтобы найти наименьшее значение функции, поищем её критические точки. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю.

1. Найдем \(y'\):

\[ y = -3 + \frac{4x - x^2}{x - 4} \]

Используя правило частного:

\[ y' = \frac{(4 - 2x)(x - 4) - (4x - x^2)(1)}{(x - 4)^2} \]

Упрощаем:

\[ \text{Числитель: } (4 - 2x)(x - 4) - (4x - x^2) \]

После раскрытия скобок и упрощения:

Далее приравниваем числитель к нулю и находим корни.

4. Между чем и чем можно искать значение

Для поиска \(m\), определим горизонтальные асимптоты (если они есть). Для функции вида:

\(-x^2\)

Итак, на бесконечности \(y\) будет стремиться к \(-\infty\). Однако учтем, что ключевую роль играет поведение вокруг точки разрыва (в данном случае, \(x=4\)).

5. Оценка поведения функции

Подставим значения \(x < 4\) и \(x > 4\):

• При \(x < 4\): значение функции ведет к большим значениям.
• При \(x > 4\): здесь функция также может вести к меньшим значениям.

6. Определим наименьшее значение \(m\)

Итак, мы видим, что наименьшее значение, которое может принимать функция, стремится к \( -\infty \) и при определённых \(x\) может находиться ниже \(y = -3\).

В результате, наименьшее значение \(m\) будет превышать \(-3\).

7. Заключение

Ответ на искомое значение \(m\):

\[ m > -3 \]

То есть, прямая \(y = m\) не будет иметь общих точек с графиком функции, если \(m\) строго больше \(-3\).