Построй график функции  𝑦 = − 3 + 𝑥 − 4 4 𝑥 − 𝑥 2 y=−3+ 4x−x 2 x−4  и определи наименьшее значение  𝑚 m, при котором прямая  𝑦 = 𝑚 y=m не имеет с графиком общих точек.

Чтобы построить график функции и найти наименьшее значение \( m \), при котором прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком функции, следуем следующим шагам. ### 1. Анализ функции Имеем функцию: \[ y = -3 + \frac{4x - x^2}{x - 4} \] Это дробно-рациональная функция. Для начала упростим её. ### 2. Упрощение функции Разделим числитель: \[ y = -3 + \frac{4x - x^2}{x - 4} = -3 + \frac{-x^2 + 4x}{x - 4} \] Можем разделить \(-x^2 + 4x\) на \(x - 4\) с помощью деления многочленов. 1. Разделим \( -x^2 \) на \( x \), получим \(-x\). 2. Умножим \(-x\) на \(x - 4\), получаем \(-x^2 + 4x\). 3. Вычтем, останется \(0\). В итоге у нас осталась только часть \(y = -3\) от дроби. Значит, можно записать: \[ y = -3 + \text{что-то малое от } \frac{0}{x - 4} \] Кроме того, учтем, что дробь не определена для \( x = 4 \). ### 3. Наименьшее значение функции Чтобы найти наименьшее значение функции, поищем её критические точки. Для этого найдем производную и приравняем её к нулю. 1. Найдем \(y'\): \[ y = -3 + \frac{4x - x^2}{x - 4} \] Используя правило частного: \[ y' = \frac{(4 - 2x)(x - 4) - (4x - x^2)(1)}{(x - 4)^2} \] Упрощаем: \[ \text{Числитель: } (4 - 2x)(x - 4) - (4x - x^2) \] После раскрытия скобок и упрощения: Далее приравниваем числитель к нулю и находим корни. ### 4. Между чем и чем можно искать значение Для поиска \(m\), определим горизонтальные асимптоты (если они есть). Для функции вида: \(-x^2\) Итак, на бесконечности \(y\) будет стремиться к \(-\infty\). Однако учтем, что ключевую роль играет поведение вокруг точки разрыва (в данном случае, \(x=4\)). ### 5. Оценка поведения функции Подставим значения \(x < 4\) и \(x > 4\): - При \(x < 4\): значение функции ведет к большим значениям. - При \(x > 4\): здесь функция также может вести к меньшим значениям. ### 6. Определим наименьшее значение \(m\) Итак, мы видим, что наименьшее значение, которое может принимать функция, стремится к \( -\infty \) и при определённых \(x\) может находиться ниже \(y = -3\). В результате, наименьшее значение \(m\) будет превышать \(-3\). ### 7. Заключение Ответ на искомое значение \(m\): \[ m > -3 \] То есть, прямая \(y = m\) не будет иметь общих точек с графиком функции, если \(m\) строго больше \(-3\).