Чтобы решить выражение ( 4 \cot \frac{\pi}{4} - \frac{4}{5} \tan^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right) ), давайте разберем его по шагам.
Шаг 1: Найдем ( \cot \frac{\pi}{4} )
[
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
]
Для угла (\frac{\pi}{4}):
[
\tan \frac{\pi}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \cot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{1} = 1
]
Шаг 2: Вычислим ( 4 \cot \frac{\pi}{4} )
Теперь, когда мы знаем значение ( \cot \frac{\pi}{4} ):
[
4 \cot \frac{\pi}{4} = 4 \cdot 1 = 4
]
Шаг 3: Найдем ( \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right) )
Используем свойство тангенса:
[
\tan(-\theta) = -\tan(\theta)
]
Для угла (\frac{\pi}{3}):
[
\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}
]
Шаг 4: Вычислим ( \tan^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right) )
Теперь снова поднимем результат в квадрат:
[
\tan^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right) = (-\sqrt{3})^2 = 3
]
Шаг 5: Найдем ( \frac{4}{5} \tan^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right) )
Теперь подставим найденное значение:
[
\frac{4}{5} \tan^2 \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4}{5} \cdot 3 = \frac{12}{5}
]
Шаг 6: Объединим все вместе
Теперь можем объединить все части выражения:
[
4 - \frac{12}{5}
]
Чтобы выполнить вычитание, приведем 4 к общему знаменателю 5:
[
4 = \frac{20}{5}
]
Теперь можем выполнить вычитание:
[
\frac{20}{5} - \frac{12}{5} = \frac{20 - 12}{5} = \frac{8}{5}
]
Ответ
Таким образом, значение данного выражения равно (\frac{8}{5}).
