Дима написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Варя вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 55, 74 и…

Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся с тем, что нам известно:

1. Дима написал пять натуральных чисел. Обозначим их как \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\).
2. Варя вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Поскольку у нас 5 чисел, количество попарных сумм будет равно \(\frac{5(5-1)}{2} = 10\).
3. Варя увидела только три различных значения из этих сумм: 55, 74 и 93.

Наша цель — найти наибольшее из написанных Димой чисел.

Шаг 1: Объяснение попарных сумм

При вычислении попарных сумм мы можем получить следующее количество сумм:

• \( a_1 + a_2 \)
• \( a_1 + a_3 \)
• \( a_1 + a_4 \)
• \( a_1 + a_5 \)
• \( a_2 + a_3 \)
• \( a_2 + a_4 \)
• \( a_2 + a_5 \)
• \( a_3 + a_4 \)
• \( a_3 + a_5 \)
• \( a_4 + a_5 \)

Шаг 2: Разделение по группам

Поскольку у нас всего три различных значения для сумм, это может означать, что некоторые из чисел \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\) равны. Это упростит задачу.

Шаг 3: Определим возможные значения

Для определения чисел можно обратить внимание на то, что если у нас три различные суммы, это может указывать на следующие комбинации:

• Когда одно или два числа совпадают, а остальные отличаются.
• Суммы 55, 74 и 93 — это такие значения, которые можно представить как произведение двух или нескольких небольших чисел.

Шаг 4: Попробуем выделить числа

Поскольку 55, 74 и 93 — это суммы, хорошо бы определить максимальное число. Самое простое — это рассмотреть их составление из совпадающих чисел.

Пусть \( x \) — это максимальное число. Попробуем составить для \(x\) несколько уравнений с использованием минимальных и максимальных чисел.

Шаг 5: Система уравнений

Пусть:

• \( d \) — одно из меньших чисел, а некие два других числа равны \( x \).

Тогда можно составить систему из сумм:

1. Сумма двух минимальных чисел (или тех, что равны) и их попарные суммы:
   • Например, \( x + d = 55 \)
   • Или \( x + d = 74 \)
   • Или \( x + d = 93 \)

Но зная, что все суммы имеют результаты в пределах 55, 74 и 93, то максимальное число, которое необходимо найти, возможно 93.

Шаг 6: Проверим вывод

Из этого анализа следует, что используя комбинации порции чисел и их разностей, можно выявить, что максимальное число, как уже указано, равно 93.

Заключение

Таким образом, наибольшее из написанных Димой чисел:

\[ \boxed{93} \]

Это число могло быть найдено путём рассмотрения возможных сумм и нахождения самых больших значений среди них.