В плоскости ху найдите точку D(x;y;0), равноудаленную от трех данных точек: А(0;4;-14, В(-4;0;4), С(0;-4;0).

Чтобы найти точку D(x; y; 0), равноудаленную от трех заданных точек A(0; 4; -14), B(-4; 0; 4) и C(0; -4; 0), мы будем использовать свойство расстояния в пространстве.

1. Формулировка задачи:
   Точка D должна находиться на одинаковом расстоянии от всех трех точек A, B и C.

2. Запись расстояния:
   Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно найти по формуле:

   \[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

   Где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

3. Расстояние от точки D до точки A: \[ d(D, A) = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 4)^2 + (0 + 14)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 4)^2 + 196} \]

4. Расстояние от точки D до точки B: \[ d(D, B) = \sqrt{(x - (-4))^2 + (y - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + 16} \]

5. Расстояние от точки D до точки C: \[ d(D, C) = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2} \]

6. Составление уравнений для равноудаленности:
   Запишем уравнения, приравняв расстояния:

   1. \( d(D, A) = d(D, B) \): \[ \sqrt{x^2 + (y - 4)^2 + 196} = \sqrt{(x + 4)^2 + y^2 + 16} \] Квадрат обеих сторон: \[ x^2 + (y - 4)^2 + 196 = (x + 4)^2 + y^2 + 16 \] Упрощая, получаем: \[ x^2 + (y^2 - 8y + 16) + 196 = (x^2 + 8x + 16) + y^2 + 16 \] Упрощаем дальше: \[ -8y + 212 = 8x + 32 \] Отсюда: \[ 8x + 8y = 180 \quad (1) \]

   2. \( d(D, A) = d(D, C) \): \[ \sqrt{x^2 + (y - 4)^2 + 196} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2} \] Квадрат обеих сторон: \[ x^2 + (y - 4)^2 + 196 = x^2 + (y + 4)^2 \] Упрощая, получаем: \[ (y^2 - 8y + 16) + 196 = (y^2 + 8y + 16) \] Упрощаем: \[ -8y + 212 = 8y \] Таким образом: \[ 16y = 212 \quad \Rightarrow \quad y = 13.25 \quad (2) \]

7. Подставим y в уравнение (1): \[ 8x + 8(13.25) = 180 \] Таким образом: \[ 8x + 106 = 180 \] \[ 8x = 74 \quad \Rightarrow \quad x = 9.25 \]

8. Итог:
   Таким образом, координаты точки D равны: \[ D(9.25; 13.25; 0) \]

Это и есть точка D, равноудаленная от точек A, B и C.