Для решения задачи начнем с определения переменных и описания всей ситуации с сотрудниками филиала.
Обозначим общее количество сотрудников в филиале как ( N ).
Запишем, сколько из них составляет каждая группа сотрудников согласно условиям задачи:
- Юристы составляют ( \frac{1}{2}N ).
- Финансисты составляют ( \frac{1}{3}N ).
- Безопасники составляют ( \frac{1}{4}N ).
Поскольку ни один финансист не является юристом, а все безопасники не являются финансистами, то количество сотрудников в каждой из этих групп складывается до общего числа ( N ).
Теперь составим уравнение:
[
\frac{1}{2}N + \frac{1}{3}N + \frac{1}{4}N \leq N
]
Чтобы решить это неравенство, нужно сначала привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей 2, 3 и 4 - это 12. Приведем дроби к общему знаменателю:
- ( \frac{1}{2}N = \frac{6}{12}N )
- ( \frac{1}{3}N = \frac{4}{12}N )
- ( \frac{1}{4}N = \frac{3}{12}N )
Теперь подставим эти дроби в неравенство:
[
\frac{6}{12}N + \frac{4}{12}N + \frac{3}{12}N \leq N
]
Сложим левую часть:
[
\frac{6 + 4 + 3}{12}N = \frac{13}{12}N \leq N
]
Когда мы умножаем обе стороны на 12:
[
13N \leq 12N
]
Это уравнение неверно, если ( N > 0 ). Это значит, что необходимо учитывать минимальное значение ( N ), чтобы все группы сотрудников имели целое число работников. Для этого предполагаем ( N ) таким образом, чтобы каждая доля (1/2, 1/3 и 1/4) была целым числом.
Наименьшее общее кратное (НОК) для 2, 3 и 4 – это 12. Проверим, подходит ли 12 под каждую долю:
- Юристы: ( \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 )
- Финансисты: ( \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 )
- Безопасники: ( \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 )
Теперь проверим общее количество сотрудников:
[
6 + 4 + 3 = 13
]
Поскольку 13 не совпадает с 12, попробуем следующее кратное НОК, то есть 24:
- Юристы: ( \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 )
- Финансисты: ( \frac{1}{3} \cdot 24 = 8 )
- Безопасники: ( \frac{1}{4} \cdot 24 = 6 )
Теперь общее количество сотрудников:
[
12 + 8 + 6 = 26
]
Поэтому наименьшее количество сотрудников в этом филиале, учитывая все условия задачи, равно 24.
