Постройте в одной системе координат графики функций y=x и y=1/x . Найдите по рисунку координаты их общих точек.
Чтобы построить графики функций \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \), а также найти их общие точки, давайте шаг за шагом разберёмся с данной задачей.
### Шаг 1: Построение графиков функции \( y = x \)
1. **Определение функции**: \( y = x \) — это прямая, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет угол наклона 45 градусов. Для \( x \) от -1 до 1, значения \( y \) будут равны соответствующим значениям \( x \).
2. **Точки для графика**:
- Если \( x = -2 \), то \( y = -2 \) (точка: (-2, -2))
- Если \( x = -1 \), то \( y = -1 \) (точка: (-1, -1))
- Если \( x = 0 \), то \( y = 0 \) (точка: (0, 0))
- Если \( x = 1 \), то \( y = 1 \) (точка: (1, 1))
- Если \( x = 2 \), то \( y = 2 \) (точка: (2, 2))
### Шаг 2: Построение графиков функции \( y = \frac{1}{x} \)
1. **Определение функции**: \( y = \frac{1}{x} \) — это гипербола. Она имеет асимптоты, и её график не определён для \( x = 0 \).
2. **Точки для графика**:
- Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{1}{-2} = -0.5 \) (точка: (-2, -0.5))
- Если \( x = -1 \), то \( y = -1 \) (точка: (-1, -1))
- Если \( x = 1 \), то \( y = 1 \) (точка: (1, 1))
- Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{1}{2} = 0.5 \) (точка: (2, 0.5))
### Шаг 3: Нахождение общих точек
Чтобы найти общие точки графиков, нужно решить уравнение:
\[
x = \frac{1}{x}
\]
Умножим обе стороны на \( x \) (для \( x \neq 0 \)):
\[
x^2 = 1
\]
Решим это уравнение:
\[
x^2 - 1 = 0 \\
(x - 1)(x + 1) = 0
\]
Таким образом, \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
Теперь найдем соответствующие значения \( y \):
- Для \( x = 1 \): \( y = 1 \)
- Для \( x = -1 \): \( y = -1 \)
### Шаг 4: Общие точки
Итак, общими точками графиков функций \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \) являются:
- Точка \( (1, 1) \)
- Точка \( (-1, -1) \)
### Итог
Графики двух функций пересекаются в точках \( (1, 1) \) и \( (-1, -1) \). Вы можете нарисовать их в одной системе координат, и эти точки будут являться местами пересечения линий.
