Постройте в одной системе координат графики функций y=x и y=1/x ​ . Найдите по рисунку координаты их общих точек.

Чтобы построить графики функций \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \), а также найти их общие точки, давайте шаг за шагом разберёмся с данной задачей.

Шаг 1: Построение графиков функции \( y = x \)

1. Определение функции: \( y = x \) — это прямая, которая проходит через начало координат (0, 0) и имеет угол наклона 45 градусов. Для \( x \) от -1 до 1, значения \( y \) будут равны соответствующим значениям \( x \).
2. Точки для графика:
   • Если \( x = -2 \), то \( y = -2 \) (точка: (-2, -2))
   • Если \( x = -1 \), то \( y = -1 \) (точка: (-1, -1))
   • Если \( x = 0 \), то \( y = 0 \) (точка: (0, 0))
   • Если \( x = 1 \), то \( y = 1 \) (точка: (1, 1))
   • Если \( x = 2 \), то \( y = 2 \) (точка: (2, 2))

Шаг 2: Построение графиков функции \( y = \frac{1}{x} \)

1. Определение функции: \( y = \frac{1}{x} \) — это гипербола. Она имеет асимптоты, и её график не определён для \( x = 0 \).
2. Точки для графика:
   • Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{1}{-2} = -0.5 \) (точка: (-2, -0.5))
   • Если \( x = -1 \), то \( y = -1 \) (точка: (-1, -1))
   • Если \( x = 1 \), то \( y = 1 \) (точка: (1, 1))
   • Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{1}{2} = 0.5 \) (точка: (2, 0.5))

Шаг 3: Нахождение общих точек

Чтобы найти общие точки графиков, нужно решить уравнение:

\[ x = \frac{1}{x} \]

Умножим обе стороны на \( x \) (для \( x \neq 0 \)):

\[ x^2 = 1 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 - 1 = 0 \\ (x - 1)(x + 1) = 0 \]

Таким образом, \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

Теперь найдем соответствующие значения \( y \):

• Для \( x = 1 \): \( y = 1 \)
• Для \( x = -1 \): \( y = -1 \)

Шаг 4: Общие точки

Итак, общими точками графиков функций \( y = x \) и \( y = \frac{1}{x} \) являются:

• Точка \( (1, 1) \)
• Точка \( (-1, -1) \)

Итог

Графики двух функций пересекаются в точках \( (1, 1) \) и \( (-1, -1) \). Вы можете нарисовать их в одной системе координат, и эти точки будут являться местами пересечения линий.